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% 封面
\title{\zihao{0} \bfseries 第五册}
\author{\zihao{2} \texttt{大青花鱼}}
% \date{\bfseries\today}
\date{}
% 正文
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\chapter{圆}

学习反比例函数和二次函数时，我们发现，就算是简单代数式定义的函数，它的图像也是我们无法手动画出的曲线。
曲线是比直线更复杂的形状。为了给我们今后研究各种曲线打下基础，以下我们研究一种简单的曲线：圆。

\section{圆的基本性质}
我们已经学过圆的概念。公理体系中，我们这样定义圆：平面上到定点$O$距离为定长的点的集合，是一个圆。
给定线段$XY$，到$O$的距离和$AB$等长的点构成一个圆。$O$叫做\textbf{圆心}，
$XY$叫做圆的\textbf{半径}，长度一般记为$r$。不至于混淆的时候，半径的长也简称为半径。

圆心为$O$、半径为$r$的圆，一般记为圆$(O, r)$或$\odot{(O, r)}$。
圆心$O$和另一点$P$确定的圆，一般记为圆$(O, P)$或$\odot{(O, P)}$。如果不在意半径，在不至于混淆的情况下，
也可以简记为圆$O$。

平面上的点到$O$的距离小于$r$，就说它在圆内；如果等于$r$，就说它在圆上；如果大于$r$，就说它在圆外。

和引进直线等概念时一样，圆也有一条公理，规定它和直线的关系。
\begin{po}\textbf{直线交圆公理}\label{po:0}
    直线和圆有两个交点，当且仅当直线有部分在圆内。
\end{po}

从这个公理出发，我们可以整理直线和圆的位置关系。

考虑直线$l$和圆$\odot{(O, r)}$。过$O$作直线$m\perp l$，记垂足为$P$，$|OP| = d$。

\begin{figure}[h] %this figure will be at the right
    \vspace{8pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.72\textwidth]{tu/圆与直线1.png}
\end{figure}

\begin{enumerate}
    \item 如果$d > r$，那么$P$在圆外。根据垂距定理，$l$上任意点都在圆外。我们说直线$l$与圆$O$\textbf{相离}。反之，如果直线与圆相离，那么$P$在圆外，因此$d > r$。
    \item 如果$d = r$，那么$P$在圆上。根据垂距定理，$l$上的点除了$P$都在圆外。直线和圆恰有一个公共点。我们说直线$l$与圆$O$\textbf{相切}，称$P$为\textbf{切点}。
    反之，如果直线与圆相切于点$Q$，那么$|OQ| = r$。$l$上其他点都在在圆外，所以根据垂距定理的逆定理，$OQ \perp l$，$d = r$。
    \item 如果$d < r$，那么$P$在圆内。根据直线交圆公理，直线和圆有两个交点$A$、$B$。我们说直线与圆\textbf{相交}，或直线\textbf{割圆}于$A$、$B$。
    反之，如果直线和圆有两个交点，那么根据直线交圆公理，直线有部分在圆内，这部分上的点到圆心距离小于$r$，因此根据垂距定理，$d < r$。
\end{enumerate}

设直线割圆于两点$A$、$B$，我们说直线是圆的\textbf{割线}。根据直线交圆公理，线段$AB$（除端点）在圆内。
我们把线段$AB$称为圆的一条\textbf{弦}。如果$AB$过圆心$O$，就说它是圆的直径，$A$、$B$互为\textbf{对径点}。
直径是过圆心的弦。它的长度是半径的两倍。不至于混淆的时候，直径的长也简称为直径。

考虑圆$O$上的弦$AB$的垂直平分线$m$，圆心$O$显然在$m$上。$m \perp AB$，设垂足为$P$，那么$|AP| = |PB|$。
设$m$和圆交于两点$C,D$，则弦$CD$就是直径。所以我们说：\textbf{恰有一条直径平分每条弦}。


% 考虑两个圆：$\odot{(O_1, r_1)}$和$\odot{(O_2, r_2)}$，设两个圆心的距离是：$|O_1O_2| = s$，
% 那么，两个圆的关系可能有以下几种：

% \begin{figure}[h] %this figure will be at the right
%     \vspace{8pt}
%     \centering
%     \includegraphics[width=0.9\textwidth]{tu/圆与圆1.png}
% \end{figure}

% \begin{enumerate}
%     \item $s > r_1 + r_2.$ 用反证法可以证明，两个圆没有公共点。我们说两圆\textbf{相离}。
%     \item $s = r_1 + r_2.$ 考虑线段$O_1O_2$，上面有一点$P$使得$|O_1P| = r_1$，于是$|PO_2| = |O_1O_2| - |O_1P| = r_2$。
%     这说明两个圆有一个公共点。如果点$Q$不在线段$O_1O_2$上，则$|O_1Q| + |QO_2| > |O_1O_2|$。
%     于是$Q$不可能是公共点。也就是说，两个圆恰有一个共同点，在圆心连线上。我们说两圆\textbf{外切}。
%     \item $|r_1 - r_2| < s < r_1 + r_2.$ 根据第二个公理，$\odot{(O_1, r_1)}$和$\odot{(O_2, r_2)}$恰有两个公共点，分别在圆心连线两侧。我们说两圆\textbf{相交}。
%     \item $s = |r_1 - r_2|.$ $r_1 > r_2$时，$s = r_1 - r_2$。考虑直线$O_1O_2$，上面有一点$P$，使得$|O_1P| = r_1$，且和$O_2$在$O_1$同一边。于是$|O_2P| = |O_1P| - |O_1O_2| = r_2$。
%     这说明两个圆有一个公共点。如果点$Q$不在线段$O_1O_2$上，则$|O_1O_2| + |QO_2| < |O_1Q|$。
%     于是$Q$不可能是公共点。也就是说，两个圆恰有一个共同点，在圆心连线上。$r_1 > r_2$时，通过类似推理可以得到同样的结论。我们说两圆\textbf{内切}。
%     \item $s < |r_1 - r_2|.$ 用反证法可以证明，两个圆没有公共点。如果$r_1 > r_2$，我们说$\odot{(O_1, r_1)}$\textbf{内含}$\odot{(O_2, r_2)}$，$\odot{(O_2, r_2)}$\textbf{内含于}$\odot{(O_1, r_1)}$；反之亦然。
% \end{enumerate}
% 要注意的是，如果仅知道两圆恰有一个公共点，我们无法判断到底是第二还是第四种情形；如果仅知道两圆没有公共点，我们无法判断到底是第一还是第五种情形。
% 第二和第四种情形可以统称为两圆\textbf{相切}，第一和第五种情形可以统称为两圆\textbf{相离}。
    % \indent 2. 完成两圆关系的第一和第五种情形中的证明。\\
    % \indent 3. 阐明两圆关系的第四种情形中，$r_1 > r_2$情况下的推理过程。

\begin{xt}\label{xt:0-0-0}
    补充：\\
    \indent 1. 设直线割圆于两点$A$、$B$，证明线段$AB$（除端点）在圆内。\\
    \indent 2. 证明：同一个圆中，直径是最长的弦。
\end{xt}

\section{圆和旋转}
怎么画一个圆？我们用圆规画圆。如果已知圆心和圆上一点，我们将圆规尖定在要画的圆心处，
将笔头接触圆上的点，然后轻轻旋转，笔头就画出一个圆。如果已知圆心和半径线段，我们首先张开圆规，
圆规尖和笔头分别对齐半径两端，然后保持圆规形状不变，将圆规尖定在要画的圆心处，让笔头接触纸面，
轻轻旋转，笔头就画出一个圆。

可以看出，圆和旋转有天然的关系。旋转是由角定义的操作，把平面中的点映射到另一点。
给定角$AOB$，可以这样定义\textbf{旋转}：

\begin{df}\label{df:0-1-0}
    给定角$AOB$，平面中一点$P$关于$\angle AOB$旋转的结果，
    是唯一使得$\angle POQ = \angle AOB$且$|OP| = |OQ|$的点$Q$。
\end{df}
$O$称为旋转的\textbf{中心}。任何点$P$绕中心旋转，结果都在圆$(O,P)$上。

可以看到，给定一个圆$(O,P)$，从点$P$出发，旋转不同的角度，
就得到圆上其它的点。用圆规画圆时，从零角出发，随着角度不断增大，直到周角，我们沿逆时针经历了圆上所有的点
（注意：这里约定角度的范围是$0^\circ$到$369^\circ$）。
也就是说，我们认为零角到周角的角按角度和圆上的点之间有一一映射。
换句话说，数轴上$0$和$360$之间的数，和圆上的点之间有一一映射。
我们把它称作\textbf{圆映射}，记为$\gamma_{(O,P)}$。

通过$\gamma_{(O,P)}$，我们可以把对圆的研究，改为对数轴上线段的研究。
这样就把曲线上的问题转为了直线上的问题。
比如，既然$[0, 360)$对应整个圆，那么$[0,180]$就对应半个圆，
$[0,60]$就对应六分之一个圆，等等。我们把闭区间对应的圆的部分称为\textbf{圆弧}。

同一圆上两个圆弧分别对应$[\, a_1, a_1+x\, ]$和$[\, a_2, a_2+x \,]$，这两个圆弧有什么不同吗？
观察圆的图像可知，并没有不同。也就是说，圆弧的形状只和它对应数轴上区间的长度有关，和它所在的位置无关。
只要对应的区间一样长，那么圆弧就全等，可以相互覆盖。换句话说，圆弧只要等长，就是全等的。
于是，线段所满足的公理，对同一个圆上的圆弧也成立。

和线段一样，圆弧也有起点和终点。比如$[\, 0,60\, ]$对应的圆弧，起点就是$P$，
终点是$60$度角$POQ$的终边和圆的交点$Q$。如果圆弧对应的区间长度超过$180$，就说它是\textbf{优弧}；
如果圆弧对应的区间长度小于$180$，就说它是\textbf{劣弧}；如果等于$180$，就说它是\textbf{半圆}。
优弧比半圆长，劣弧比半圆短。

从直线和圆相交的角度来看，圆上两点确定的直线将圆分为两个圆弧。这两个圆弧并起来就是圆，
所以要么一个是优弧、一个是劣弧，要么两者都是半圆（这时直线过圆心）。我们说它们互为\textbf{补弧}。

同一个圆上，明确了起点$A$和终点$B$，就唯一确定了圆弧$\widearc{AB}$。如果只说了两点$A$、$B$，
那么$\widearc{AB}$一般指劣弧或起点为$A$终点为$B$的圆弧。

\begin{xt}\label{xt:0-1-0}
    证明：\\
    \indent 1. 任意线段经过旋转得到等长的线段。\\
    \indent 2. 任意三角形经过旋转得到同角全等的三角形。 
\end{xt}

\section{圆心角和圆周角}

根据圆映射的定义，每个圆弧都对应一个顶点在圆心，大小介于零角和周角之间的角，称为它的\textbf{圆心角}。
圆弧还可以对应另一类角。给定起点为$A$，终点为$B$的圆弧$\widearc{AB}$和圆上弧外一点$P$，
则角$APB$称为一个\textbf{圆周角}。
每个圆弧只对应一个圆心角，但可以对应很多个圆周角。

同一段圆弧的圆心角和圆周角之间，有什么关系呢？如右图，连接$PO$，延长交圆于对径点$Q$。
由于$\triangle AOP$是等腰三角形，$\angle OAP + \angle OPA = 0$，
同理，$\angle OBP + \angle OPB = 0$。于是
\begin{align*}
    \angle AOB &= \angle AOQ + \angle QOB  \\ 
    &= \angle OAP + \angle APO + \angle PBO + \angle OPB  \\
    &= 2\angle APO + 2\angle OPB = 2\angle APB 
\end{align*}
也就是说，圆心角是圆周角的两倍大小，圆周角是圆心角的一半大小。

\begin{tm}\textbf{圆周角定理}\label{tm:0-2-0}
    给定圆$O$上的弧$\widearc{AB}$及圆上弧外的点$P$，如果$P \notin \widearc{AB}$，那么：
    $$\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB,$$
\end{tm}

如果点$P$在弧上，$\angle APB$和$\angle AOB$是什么关系呢？
这时$\angle APB$对应$\widearc{AB}$的补弧，于是它
是$\widearc{AB}$对应的圆心角的一半大小。$\widearc{AB}$对应的圆心角是周角减去$\angle AOB$，所以
$$\angle APB = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle AOB.$$

对径点和圆心形成平角，因此，根据圆周角定理，对径点对应的圆周角是直角。或者说，半圆对应的圆周角是直角。

要注意的是，讨论圆心角时，我们约定角的范围是零角到周角。讨论圆周角和其他角时，为了方便，我们会切换到
负平角到正平角的范围。

同一个圆里，圆上的点$A$、$B$对应的圆心角$\angle AOB$和点$C$、$D$对应的圆心角$\angle COD$相等，那么
根据“边角边”，圆心$O$和它们构成的三角形满足：$\triangle AOB \simeq \triangle COD$。弦$AB$和$CD$也等长。
不仅如此，根据圆映射，圆弧$\widearc{AB}$和$\widearc{CD}$也等长。
事实上，$\widearc{CD}$就是$\widearc{AB}$关于某个角旋转的结果。
我们把这个结论称为“等角对等弦”、“等角对等弧”。

反之，如果两个圆弧$\widearc{AB}$和$\widearc{CD}$等长，那么它们对应的区间也一样长。
这说明它们对应的圆心角一样大。
圆心角既然相等，那么弦$AB$和$CD$也等长。
更进一步，设$P$是圆上不属于两弧的点，那么圆周角$\angle APB$和$\angle CPD$一样大。我们把这个结论称为“等弧对等弦”、“等弧对等角”。

反过来，如果圆$O$上两条弦$AB$和$CD$等长，那么根据“边边边”，$\triangle AOB \simeq \triangle COD$。
于是圆心角相等，所以劣弧$\widearc{AB}$和$\widearc{CD}$等长。我们把这个结论称为“等弦对等角”、“等弦对等弧”。

总的来说，在同一个圆里，两点对应的弦长相等当且仅当对应的（劣弧）弧长相等，当且仅当对应的圆心角相等，
当且仅当对应的圆周角相等。弦、弧、圆心角、圆周角，都是用来描述圆的部分和整体关系的方法。

给定圆上两点$A$、$B$，它们对应的垂直平分线$l$平分$\angle AOB$，即把$\angle AOB$分成两个相同大小的圆心角。
因此，设$l$和圆交于$P$、$Q$，则它们也分别平分所在的圆弧（称为弧的中点）。
我们把这一系列结论总称为垂径定理：
\begin{tm}\textbf{垂径定理 }\label{tm:0-2-1}
    给定圆上两点，则恰有圆的一条直径垂直平分两点对应的弦，同时平分对应的圆心角和两个圆弧。
\end{tm}
垂径定理也可以说成：过圆$O$的弦$AB$中点的直径与弦$AB$垂直，同时平分$\angle AOB$和弧$\widearc{AB}$。

给定圆$(O, r)$，弦$AB$中点记为$M$，$|MO|$称为弦$AB$的\textbf{弦心距}。由于$MO \perp AB$，
$\triangle OAM$是直角三角形，根据勾股定理，
$$|OM|^2 + |AM|^2 = |OA|^2 = r^2.$$
设直线$MO$与圆$O$交于$P$、$Q$两点，则
$$|MP| \cdot |MQ| = (r - |OM|)(r + |OM|) = r^2 - |OM|^2.$$
比较以上两式，可以得到：
$$ |MA| \cdot |MB| = |MA|^2 = |MB|^2 = |MP| \cdot |MQ|.$$
这个推论也常常被称为垂径定理。

\section{点到圆的势}
圆是到定点距离相同的点的集合，所以点对圆来说是关键的概念。
一点和圆的关系，可以用它到圆的距离来理解。点$P$在圆$(O, r)$上，当且仅当它到圆心的距离为$r$。

如果不知道圆心的位置，有没有办法理解点和圆的位置关系呢？
我们引进点到圆的\textbf{势}的概念。

\begin{df}
   点$P$到圆$(O, r)$的势，等于$|OP|^2 - r^2$。 
\end{df}

乍一看，点到圆的势，仍然和它到圆心的距离相关。点到圆心的距离$d$比$r$小的时候，点在圆内，
这时它到圆的势小于$0$。$d>r$的时候，点在圆外，势也大于$0$。$d=r$的时候，点在圆上，
势等于$0$。

下面，我们从垂径定理出发，给出一种不依赖圆心的方法，计算点到圆的势。

首先设点$P$在圆$(O,r)$内。连接$OP$，延长为直径，交圆于$A,B$两点（$A$、$P$在$O$同侧）。
过$P$作该直径的垂线，交圆于$C,D$两点。弦$CD$的垂直平分线过$O$，而$OP \perp CD$，
所以$OP$就是弦$CD$的垂直平分线。根据垂径定理，$|PA|\cdot|PB| = |PC| \cdot |PD| = r^2 - |OP|^2$。
这说明$|PA|\cdot|PB|$、$|PC| \cdot |PD|$是$P$的势的绝对值。

过$P$任意作一条直线，和圆交于两点$M,N$，是否也有这个结论呢？

\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.43\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-22pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.42\textwidth]{tu/圆势1.png}
\end{wrapfigure}

如右图，可以发现，$\angle NDC$和$\angle NMC$都对应同一段弧，且$C,M$都在弧外，
所以$\angle NDC = \angle NMC$。又对顶角$\angle DPN = \angle CPM$，所以
$ \triangle DPN \backsim \triangle MPC$。也就是说，
$$ \frac{|PD|}{|PN|} = \frac{|PM|}{|PC|}.$$
换句话说，$|PC| \cdot |PD| = |PN|\cdot|PM|$。这个结论也叫\textbf{相交弦定理}。

对圆内一点$P$来说，即便不知道圆心，只要过$P$作直线与圆交于两点，那么$P$到两点的距离乘积
就是它到圆的势的绝对值。

如果点在圆外，是否有类似的结论呢？我们仍然连接$OP$，直线$OP$割圆于两点：$A,B$
（$A$位于$O$、$P$之间）。可以算出：
$$|PA|\cdot|PB| = (|PO| - |AO|) \cdot (|PO| + |PB|) = |OP|^2 - r^2.$$
过$P$作直线$l$和圆交于两点$M,N$，$|PM| \cdot |PN|$是否也等于$|OP|^2 - r^2$呢？

\begin{wrapfigure}[12]{r}{0.43\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-18pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.42\textwidth]{tu/圆势2.png}
\end{wrapfigure}

如右图，注意到$\angle BNA$和$\angle BMA$都对应半圆，所以都是直角。
三角形外角$\angle PAN = \angle ABN + \angle BNA$，而$\angle ABN$和$\angle AMN$对应同一段弧且都不在弧上，
所以$\angle ABN = \angle AMN$。于是，
\begin{align*}
    \angle PAN &= \angle ABN + 90^\circ  \\
    &= \angle AMN + \angle BMA =\angle BMN. 
\end{align*}
这说明$\triangle PAN \backsim \triangle PBM$，所以
$$ \frac{|PA|}{|PN|} = \frac{|PM|}{|PB|},$$
换句话说，$|PM|\cdot |PN| = |PA|\cdot |PB|$。
这个性质也叫\textbf{割线定理}。

对圆外一点$P$，即便不知道圆心，只要过$P$作直线与圆交于两点，那么$P$到两点的距离乘积
就是它到圆的势。

因此，无论在圆内还是圆外，经过一点$P$的直线与圆交于两点，则它到两点的距离乘积只与它和圆的远近关系有关。
如果$P$在圆内，这个乘积等于$r^2 - |PO|^2$；如果$P$在圆外，这个乘积等于$|PO|^2 - r^2$。
或者说，这个乘积就是势的绝对值。至于$P$在圆上的情形，我们可以认为它与圆交于两点，其中一点就是它自身，
所以到自身距离为$0$，从而乘积总是$0$，等于它的势。

\begin{tm}\textbf{圆势定理}\label{tm:0-3-40}
    过点$P$作直线与圆$(O, r)$交于两点：$A$、$B$，那么
    $$ |PA| \cdot |PB| = \left||PO|^2 - r^2\right|. $$
\end{tm}

比起乘积$|PA| \cdot |PB|$，点到圆的势多了正负号。如何理解这个正负号呢？如果过圆$(O,r)$的圆心
作一条直线，在上面建立数轴。当我们把原点$P$选在圆内的时候，$A$和$B$就对应符号相异的数；如果
把原点$P$设在圆外，$A$和$B$就代表同号的数了。
所以，以$P$为原点，$PO$为正方向的数轴和圆交于两点，这两点代表的数的乘积就是$P$到圆的势。
或者说，圆势附带了$P$和$A$、$B$的位置关系的信息。


\section{切线}
过一点作直线要与圆交于两点不难，与圆交于一点则不简单。
根据直线交圆公理，过圆内的点，无法作和圆相切的直线。过圆外一点，可以作与圆相切的直线
直观上，我们可以把直尺从和圆相交的状态逐渐移动，直到尺子碰到圆的“边缘”，作出大致和圆相切的直线。

直线和圆相切是一种特殊的状况。过圆外或圆上一点的直线$l$如果和圆$O$相切，就说它是点到圆的\textbf{切线}。
切线和圆的（唯一）交点，称为\textbf{切点}。根据相切的性质，过圆心$O$作关于$l$的垂线，切点就是垂足。
过圆上一点，只有一条切线，过圆外一点，可以作两条切线。

过圆$(O,r)$外一点$P$作切线，记切点为$Q$，则$\triangle OQP$为直角三角形。根据勾股定理，
$$ |PQ|^2 + |OQ|^2 = |OP|^2.$$
因此，$|PQ|^2 = |OP|^2 - r^2$。也就是说，点$P$到切点的距离平方，
是它关于圆的势。若过$P$作圆$O$的割线，交圆于$A$、$B$两点，那么
$$ |PA| \cdot |PB| = |OP|^2 - r^2 = |PQ|^2.$$
也就是说，
$$ \frac{|PA|}{|PQ|} = \frac{|PQ|}{|PB|}.$$
因此，$\triangle PAQ \sim \triangle PQB$。这两个三角形的相似关系称为\textbf{切割线定理}。
切割线定理可以看作割线定理的特例。

从切割线定理可以推出：$\angle PQA = \angle PBQ$。从另一个角度，可以这样理解：
过圆上一点$Q$只有一条切线$PQ$。如果过$Q$再作一条直线，直线于圆必交于另一点$A$，
而$\angle PQA$等于圆弧$\widearc{QA}$对应的圆周角。

\begin{sk}\label{sk:0-4-0}
    已知圆外一点$P$，如何准确作出$P$到$O$的切线？
\end{sk}


\chapter{圆和多边形}
我们对圆上一点、两点引出的形状都有了初步了解，现在来看圆上多个点对应的形状。

\section{三角形的外接圆和内切圆}
首先来看三个点的情形。

设$A$、$B$、$C$是圆$(O,r)$上（相异的）三点，则线段$AB$、$BC$、$AC$的垂直平分线都过圆心$O$。
因此，$O$是$\triangle ABC$的外心（这里附带说明了圆上相异三点必然不共线），$|OA|=|OB|=|OC|=r$。
反之，设有（非退化的）$\triangle ABC$，以它的外心$O$为圆心，以$|OA|$为半径，就可以画出一个圆，
过顶点$A$、$B$、$C$。这说明，\textbf{不共线的三点恰好对应一个圆}。或者说，\textbf{不共线的三点确定一个圆}。
我们把这个圆称为三角形的\textbf{外接圆}（“外心”即“外接圆圆心”的简称），把三角形称为圆的\textbf{内接三角形}。

三角形不仅可以内接于圆，圆也可以内接于三角形。考虑三角形$ABC$的内心，它到三角形三边的距离相等。
以内心为圆心，以它到三边的距离为半径作圆，这个圆和三角形三边都相切。我们把这个圆叫做三角形的\textbf{内切圆}
（“内心”即“内切圆圆心”的简称），把三角形称为圆的\textbf{外切三角形}。

\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.46\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-20pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{tu/内切圆势1.png}
\end{wrapfigure}

除了内心，三角形还有旁心。旁心到三角形三边的距离也相等。因此，以每个旁心为圆心，以它到三遍的距离为圆心，
各可以得到一个圆。每个圆都与三角形一边和另两边的延长线相切。这三个圆称为三角形的旁切圆
（“旁心”即“旁切圆圆心”的简称），把三角形称为它们的\textbf{旁切三角形}。

\begin{xt}\label{xt:1-0-10}
    \mbox{} \\
    如右上图，$\triangle ABC$的内心为$I$，外心为$O$。设$I$到$AC$的垂足为$I_B$，
    射线$AI$与圆$O$交于$D$，$D$的对径点为$E$。\\
    \indent 1. 证明：$\triangle CDI$是等腰三角形，$|CD| = |DI|$。\\
    \indent 2. 证明：$\triangle CDE \sim \triangle I_BIA$。\\
    \indent 3. 证明：$I$关于圆$O$的势$\mathtt{R}^2 - |OI|^2 = 2\mathtt{Rr}$。其中$\mathtt{R}$是外接圆半径，
    $\mathtt{r}$是内切圆半径。\\
    \indent 4. 设$J_A, J_B, J_C$是$\triangle ABC$的旁心，证明：它们关于圆$O$的势分别等于外接圆半径与对应旁切圆半径乘积的两倍。
\end{xt}

\section{圆内接四边形}
在三个点的基础上再加一个点$D$，四个点$A$、$B$、$C$、$D$能否恰好对应一个圆呢？显然，
$\triangle ABC$和$\triangle BCD$的外接圆未必是同一个圆。所以，四个点不总是在同一个圆上。
换句话说，要让四个点共圆，这四个点必须满足一定的条件。

\begin{wrapfigure}[3]{r}{0.32\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-40pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{tu/圆内接四边形1.png}
\end{wrapfigure}

如右图，设$A$、$B$、$C$、$D$圆$(O,r)$上（相异的）四点，考察它们对应的圆弧。我们发现，
$\widearc{ABC}$和$\widearc{CDA}$是整个圆的分划，因此，它们对应的圆心角之和是周角。
根据圆周角定理，$\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ$。同理，$\angle BCD + \angle DAB = 180^\circ$。

我们还可以发现，圆周角$\angle BAC$和$\angle BDC$都对应$\widearc{BC}$，因此根据“等弧对等角”，
$\angle BAC = \angle BDC$。同理可得：$\angle ACB = \angle ADB$，$\angle CAD = \angle CBD$，
$\angle DBA = \angle DCA$。

% 从这些等角关系出发，
% 如果对角线$AC$和$BD$交于点$P$，那么$\triangle APB \backsim \triangle CPD$、$\triangle BPC \backsim \triangle DPA$。

\begin{wrapfigure}[4]{r}{0.32\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-48pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{tu/圆内接四边形1b.png}
\end{wrapfigure}

如果$A$、$B$、$C$、$D$顺序改变，如右图，那么四边形$ABCD$就是蝶形。
$\widearc{ABC}$和$\widearc{CDA}$对应同一段圆弧$\widearc{AC}$。
这时$\angle ABC + \angle CDA = 0^\circ$，或者说$\angle ABC = \angle ADC$。
同理，$\angle BAD = \angle BCD$。

综合两种情况，\textbf{圆内接四边形对角要么和为平角，要么相等}。

可以看到，如果把相交的对边
$AB$、$CD$看作对角线，把对角线$AC$、$BD$看作对边，我们就得到一个凸四边形$ACBD$。
因此，观察相同的圆弧对应的圆周角可以发现，我们仍然有$\angle BAC = \angle BDC$、$\angle ACB = \angle ADB$，$\angle CAD = \angle CBD$，
$\angle DBA = \angle DCA$。如果对角线$AC$和$BD$交于点$P$，仍然有$\triangle APB \backsim \triangle CPD$、$\triangle BPC \backsim \triangle DPA$。
换句话说，即便圆内接四边形不是凸四边形，用它的顶点也能画出圆内接凸四边形，并且不妨碍我们讨论相关的性质。
所以，我们总把圆内接四边形问题归结为凸四边形来讨论，也称之为四点共圆问题。

以上是圆内接四边形边和角的性质，反过来，满足什么性质的四边形是圆内接四边形呢？
或者说，满足什么条件的四个点共圆呢？

\begin{tm}\label{tm:1-1-0}
    如果凸四边形$ABCD$中的一对内角$\angle ABC$与$\angle CDA$的和是平角，
    那么$ABCD$是圆内接四边形。
\end{tm}

\begin{proof}
    $\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ$，所以要么两个角都是直角，要么一个是钝角，一个是锐角。\\
    如果两个角都是直角，作对角线$AC$，取它的中点$O$。$\triangle ABC$是直角三角形，$AC$是斜边，
    根据直角三角形的中线定理，$|AO| = |BO| = |CO|$。同理，$\triangle CDA$是直角三角形，$AC$是斜边，
    于是$|AO| = |DO| = |CO|$。因此$A,B,C,D$四点都在$\odot{(O, A)}$上。\\
    如果两个角一个是钝角，一个是锐角。不妨设$\angle ABC > 90^\circ > \angle CDA$。作对角线$AC$，
    则$B$、$D$在$AC$两侧。作对角线$AC$的垂直平分线$l$。
    显然，$\triangle ABC$和$\triangle CDA$的外心都在$l$上，只需证明两者是同一点。\\
    设$\triangle ABC$的外接圆为$\odot{(O_1, B)}$。$\angle ABC$是钝角，因此它的圆心角对应优弧。
    于是，$O_1$和$B$在直线$AC$两侧。$\angle CO_1A = 360^\circ - 2\angle ABC$。\\
    另一方面，设$\triangle CDA$的外接圆为$\odot{(O_2, D)}$。$\angle CDA$是锐角，因此它的圆心角对应劣弧。
    于是，$O_2$和$D$在直线$AC$同一侧。$\angle CO_2A = 2\angle CDA$。\\
    以上两个结论说明，$O_1$和$O_2$都和$D$在直线$AC$同一侧，且$\angle CO_1A = \angle CO_2A$。
    而$\triangle CO_1A$和$\triangle CO_2A$都是等腰三角形，所以两者同角全等。这说明$O_1$和$O_2$是同一点。
    $A,B,C,D$四点都在$\odot{(O_1, A)}$上。
\end{proof}

从这个定理可以推出，矩形、等腰梯形和正方形都是圆内接四边形。

\begin{tm}\label{tm:1-1-10}
    如果凸四边形$ABCD$中，$\angle ACB = \angle ADB$，
    那么$ABCD$是圆内接四边形。
\end{tm}

\begin{proof}
    $ABCD$是凸四边形，所以$C$和$D$在直线$AB$同侧。
    作边$AB$的垂直平分线$l$，显然，$\triangle ABC$和$\triangle ABD$的外心都在$l$上，
    只需证明它们是同一点。\\
    设$\triangle ABC$的外接圆为$\odot{(O_1, C)}$，
    $\triangle ABD$的外接圆为$\odot{(O_2, D)}$。
    如果$\angle ACB$是钝角，那么它的圆心角对应优弧。
    于是，$O_1$和$C$在直线$AB$两侧，且$\angle BO_1A = 360^\circ - 2\angle ACB$。
    这时，$\angle ADB = \angle ACB$也是钝角，所以同样有$O_2$和$D$在直线$AB$两侧，且
    $\angle BO_2A = 360^\circ - 2\angle ADB$。
    如果$\angle ACB$是锐角，那么它的圆心角对应劣弧。
    于是，$O_1$和$C$在直线$AB$同侧，且$\angle BO_1A = 2\angle ACB$。
    这时，$\angle ADB = \angle ACB$也是锐角，所以同样有$O_2$和$D$在直线$AB$同侧，且
    $\angle BO_2A = 2\angle ADB$。\\
    因此，$O_1$和$O_2$总在直线$AB$同侧，且$\angle BO_1A = \angle BO_2A$。
    而$\triangle BO_1A$和$\triangle BO_2A$都是等腰三角形，所以两者同角全等。这说明$O_1$和$O_2$是同一点。
    $A,B,C,D$四点都在$\odot{(O_1, A)}$上。
\end{proof}

\begin{tm}\label{tm:1-1-20}
    过一点$P$的两条直线$m,n$上各有两点：$A, C\in m$和$B, D \in n$，分别各在$P$两侧。
    如果
    $$ |PA| \cdot |PC| = |PB| \cdot |PD|, $$
    那么四边形$ABCD$是圆内接四边形。
\end{tm}

\begin{proof}
    考虑$\triangle APB$和$\triangle DPC$。对顶角$\angle APB = \angle DPC$。
    而$ |PA| \cdot |PC| = |PB| \cdot |PD|$等于说
    $$ \frac{|PA|}{|PB|} = \frac{|PD|}{|PC|}.$$
    因此根据“边角边”，$\triangle APB \sim \triangle DPC$。于是有
    $\angle ABP = \angle DCP$，$\angle BAP = \angle CDP$。因此，根据定理\ref{tm:1-1-10}，
    四边形$ABCD$是圆内接四边形。
\end{proof}
这个定理也可以理解为：两条线段相交，如果交点把每条线段分成的两部分长度之积相等，那么线段端点共圆。
也就是说，这两条线段实际上是圆的两条相交的弦，乘积$ |PA| \cdot |PC| = |PB| \cdot |PD|$是$P$关于圆的势。
这个定理是相交弦定理的逆定理。

\begin{xt}\label{xt:1-1-10}
    \mbox{}\\
    \indent 1. $\triangle ABC$三边$BC,CA,AB$上分别有点$X,Y,Z$。
    设$\triangle AYZ$的外接圆和$\triangle BXZ$的外接圆交于点$P$，证明：$C,X,Y,P$四点共圆。\\
    \indent 2. 直线$XYZ$与三角形$ABC$的边$BC,CA,AB$所在直线分别交于点$X,Y,Z$。
    证明：$\triangle AYZ$、$\triangle BXZ$、$\triangle CXY$、$\triangle ABC$的外接圆过一公共点。
    \indent 3. $P$是平面上一点。过$P$作直线$l_1,l_2,l_3$与$\triangle ABC$三边$BC,CA,AB$分别交于点$X,Y,Z$。
    如果$\angle AYP = \angle BZP = \angle CXP$，证明：$A, Y, Z, P$四点共圆、$B, X, Z, P$四点共圆、$C,X,Y,P$四点共圆。\\
    给定圆内接凸四边形$ABCD$。$E$是对角线$AC$上一点。$\angle CDE = \angle BDA$。\\
    \indent 4. 证明：$\triangle CDE \sim \triangle BDA$。\\
    \indent 5. 证明：$\triangle CDB \sim \triangle EDA$。\\
    \indent 6. 证明：$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |DA|.$\\
    给定凸四边形$ABCD$，作射线$CE$使得$\angle ECD = \angle ABD$，
    作射线$DE$使得$\angle CDE = \angle BDA$。两射线交于点$E$。\\
    \indent 7. 证明：$\triangle CDE \sim \triangle BDA$。\\
    \indent 8. 证明：$\triangle CDB \sim \triangle EDA$。\\
    \indent 9. 证明：$|AC| \cdot |BD| \geqslant |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |DA|.$ \\
    \indent 10. 证明，凸四边形$ABCD$是圆内接四边形，当且仅当$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |DA|.$\\
    \indent 11. 证明：$A,B,C,D$四点共圆，当且仅当$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |DA|.$
\end{xt}

\section{垂心组和外接圆}

\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.5\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-90pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.48\textwidth]{tu/垂心与外心1.png}
\end{wrapfigure}

考虑锐角三角形$ABC$，把顶点到对边的垂足分别记作$H_A, H_B, H_C$，垂心为$H$。
由于$\angle HH_AB = \angle BH_CH = 90^\circ$，两角之和为平角，故$H, H_A, H_C, B$四点共圆，
$\angle H_CHH_A + \angle H_ABH_C = 180^\circ$。这说明$\angle CHA = \angle H_CHH_A$是钝角，
$\triangle AHC$是钝角三角形。

考察钝角三角形$AHC$，它的顶点到对边的垂足也是$H_A, H_B, H_C$，而垂心是$B$。

类似地，我们可以证明$H, H_B, H_C, A$四点共圆，$H, H_A, H_B, C$四点共圆。
钝角三角形$BHC$、$CHA$的顶点到对边的垂足也是$H_A, H_B, H_C$，
而垂心分别是$A$和$B$。

于是，从锐角三角形$ABC$及其垂心$H$出发，可以得出四个三角形，每三个点构成的三角形的垂心，
是四个点中剩余的那个点。我们把这样的四点称为\textbf{垂心组}。

从钝角三角形及其垂心出发，一样可以得到一个垂心组。从直角三角形出发，其垂心和直角顶点重合，
四点的垂心组退化为三点。

从上面的讨论可知，垂心组四点共享三个垂足。任一顶点、垂心和另外两个顶点对应的垂足四点共圆。

考察$A, H_B, H_A, B$四点。由$\angle AH_BB = 90^\circ = \angle AH_AB$可知，
$A, H_B, H_A, B$四点共圆。由于$\angle AH_BB$是直角，$A, H_B, H_A, B$四点所在的圆，
圆心是边$AB$的中点$M_C$。同理，$A, H_C, H_A, C$四点共圆，圆心是边$AC$的中点$M_B$；
$B, H_C, H_B, C$四点共圆，圆心是边$BC$的中点$M_A$。

从$A, H_B, H_A, B$四点共圆可以推出：$\angle A = \angle CH_AH_B$，$\angle B = \angle H_AH_BC$。
也就是说，$\triangle CH_BH_A \backsim \triangle CBA$。

从以上两个四点共圆性质还可以推出$\angle HH_CH_A = \angle CAH$，$\angle HH_AH_C = \angle ACH$。
因此，$\triangle HH_AH_C \backsim \triangle HCA$。

以上是三角形垂心组的基本性质。垂心是顶点到对边垂线的交点。另外一个和边垂直的概念是边的中垂线。
如果把三角形的垂心和外心一起来看，会发现两者有密切的关联。

考虑锐角三角形$ABC$、其垂心$H$及其外心$O$。边$BC$可以看作$\triangle ABC$外接圆的弦。
圆心角$\angle BOC = 2\angle A$，因此在等腰三角形$BOC$中，
$$\angle CBO = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BOC = 90^\circ - \angle A = \angle HBA.$$
同理，$\angle BAO = \angle HAC$，$\angle ACO = \angle HCB$。

\begin{wrapfigure}[9]{r}{0.42\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-50pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{tu/垂心与外心2.png}
    % \caption*{\texttt{垂心和外接圆}}
\end{wrapfigure}

此外，$\angle H_CH_AB = \angle A$，因此$\angle H_CH_AB + \angle CBO = 90^\circ$。
这说明半径$OB \perp H_AH_C$。同理，半径$OA \perp H_BH_C$，$OC \perp H_AH_B$。

作点$A$在$ABC$外接圆上的对径点$A'$，$AA'$是直径，所以$\angle ACA'$是直角。因此
$$ \angle H_CHA' = 90^\circ - \angle ACH_C = \angle A.$$
另一方面，$A, H_B, H, H_C$四点共圆，所以
$$ \angle H_CHB = 180^\circ - \angle H_BHH_C = \angle A.$$
这说明$CA' \parallel HB$。
同理，我们可以得到$BA' \parallel HC$。因此四边形$A'BCH$是平行四边形。

作$B,C$的对径点$B', C'$，同样可以证明，
四边形$AB'HC$和$AHBC'$是平行四边形。

\begin{wrapfigure}[9]{r}{0.42\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-30pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{tu/垂心外心重心3.png}
    % \caption*{\texttt{垂心和外接圆}}
\end{wrapfigure}

连接圆心$O$和$AB$中点$M_C$，$O$是直径$AA'$的中点，所以$OM_C$平行于$A'B$，且长度为$A'B$一半。
我们把这种关系简称为“$OM_C$平行且等于$A'B$的一半”。

连接$OH$和$AM_C$。由于$OM_C$平行且等于$A'B$的一半，$A'B$平行且等于$HC$，
因此$OM_C$平行且等于$HC$的一半。记$OH$和$CM_C$交点为$G$，
不难看出，$\triangle OGM_C \sim \triangle GHC$，且
$$ \frac{|M_CG|}{|GC|} = \frac{|OG|}{|GH|} = \frac{|OM_C|}{|HC|} = \frac{1}{2}.$$
也就是说，点$G$在三角形$ABC$中线$CM_C$上，且到$C$点的距离是到$M_C$距离的两倍。
这说明$G$就是三角形$ABC$的重心。我们发现，三角形的垂心、外心和重心满足以下的性质：

\begin{tm}{\textbf{三心共线定理}}\label{tm:1-2-10}
    \mbox{} \\
    三角形$ABC$的垂心、外心和重心共线，重心位于外心和垂心为端点的线段上，
    而且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍。
\end{tm}

\begin{xt}\label{xt:1-2-10}
    沿用本节记号，证明： \\\
    \indent 1. $|AH|\cdot |HH_A| = |BH|\cdot |HH_B| = |CH|\cdot |HH_C|.$\\
    \indent 2. $H$是$\triangle H_AH_BH_C$的内心。\\
    \indent 3. 记$\triangle ABC$的内心为$I$，旁心分别为$J_A, J_B, J_C$，则$I$是$\triangle J_AJ_BJ_C$的垂心。\\
    \indent 4. $H$关于$AB$的对称点$H^C$在$ABC$外接圆上，且$\widearc{AC'} = \widearc{H^CB}$。\\
    \indent 5. $\triangle AHB$、$\triangle AHC$和$\triangle CHB$的外接圆都和$\triangle ABC$的外接圆一样大。
    它们的圆心分别是$\triangle ABC$的外心$O$关于三边的对称点，和$O$组成垂心组。
    并且这个垂心组和垂心组$A,B,C,H$全等。
\end{xt}

\section{九点圆}

我们已经了解过三角形的外接圆、内切圆和旁切圆。本节我们再介绍三角形内部的一个特殊的圆。

设有三角形$ABC$，上一节中，我们证明了$\triangle ABC$的垂心$H$、外心$O$和重心$G$共线。
考虑线段$OH$，作它的中点$M$。我们知道$AHBC'$是平行四边形，所以$M_C$是其对角线$HC'$的中点。
因此，$MM_C$平行且等于$OC'$的一半。

作$CH$的中点$D_C$，由于$OM_C$平行且等于$CH$的一半，因此平行且等于$HD_C$。
也就是说，四边形$HD_COM_C$是平行四边形，于是$M_C, M, D_C$共线，$M$是$M_CD_C$的中点，
$|MD_C| = |MM_C| = \frac12 |M_CD_C|$。

$\triangle M_CH_CD_C$是直角三角形，所以斜边中点$M$到直角顶点$H_C$的距离是斜边长度$M_CD_C$的一半。
也就是说，
$$ |MD_C| = |MM_C| = |MH_C| = \frac12 |OC'| = \frac{\mathtt{R}}{2}.$$
其中$\mathtt{R}$是$ABC$的外接圆半径。

\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.42\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-20pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{tu/九点圆1.png}
    % \caption*{\texttt{垂心和外接圆}}
\end{wrapfigure}

同理，我们也有
\begin{align*}
    |MD_A| = |MM_A| = |MH_A| = \frac{\mathtt{R}}{2},  \\
    |MD_B| = |MM_B| = |MH_B| = \frac{\mathtt{R}}{2}  
\end{align*} 
所以，以$M$为圆心，以$\frac{\mathtt{R}}{2}$为半径画圆，我们就会发现，这个圆经过三边中点，
三边上的垂足，以及三顶点到垂心连线的中点，合共九点。我们把这个圆称为\textbf{九点圆}。

\begin{tm}{\textbf{九点圆定理}}\label{tm:1-3-10}
    \mbox{} \\
    三角形三边中点、三边垂足，以及三顶点到垂心连线的中点共圆。
    圆心为外心与垂心的中点，半径为三角形外接圆半径的一半。
\end{tm}
三角形的九点圆的大小，刚好是三角形外接圆的一半。如果我们把三角形的垂心$H$看作“起点”，
那么三角形的外接圆可以看作是九点圆外延加倍得到的。比如，把线段$HD_C$加倍延长，就得到$HC$；
把线段$HM_C$加倍延长，就得到$HC'$；把线段$HH_C$加倍延长，就得到外接圆上一点$H^C$。
一般来说，从$H$出发，连接$H$和九点圆上任一点，加倍延长后，终点就会落在外接圆上。

\begin{xt}
    沿用本节记号，证明：\\
    \indent 1. 作外心$O$关于三边的对称点：$O_A, O_B, O_C$，则垂心$H$是$\triangle O_AO_BO_C$的外心。\\
    \indent 2. $\triangle O_AO_BO_C \simeq \triangle ABC$。两者关于点$M$对称，有共同的九点圆。\\
    \indent 3. 记$\triangle ABC$的旁心为$J_A, J_B, J_C$，则$\triangle J_AJ_BJ_C$的九点圆是$\triangle ABC$的外接圆。
\end{xt}

\section{圆内接多边形}
九点圆涉及了内接于同一个圆的九边形。对一般的多边形来说，成为圆内接多边形意味着什么呢？

从四边形的情况来看，顶点的位置顺序对形状很重要。如果顶点$A$、$B$、$C$、$D$按顺时针或逆时针顺序排列，
那么四边形$ABCD$是凸四边形，否则，四边形$ABCD$可能是凹四边形。

对一般的圆内接多边形，我们只研究最简单的一类：顶点按逆时针顺序排列的多边形。
具体来说，设圆$O$上有$n$个点：$A_1, A_2, \cdots , A_n$，从$A_1$出发构造圆映射$\gamma_{(O,A_1)}$，
把$[0, 360)$映射到圆周，那么$0$对应$A_1$。设$t_1, t_2, \cdots , t_n$分别对应$n$个点，
那么$0 = t_1 < t_2 < \cdots < t_n$。这样定义的圆内接多边形：$A_1A_2\cdots A_n$就是我们研究的对象。
这样定义的多边形，每个内角都在零角和平角之间。这样的多边形叫做\textbf{凸多边形}。

对于大于等于$3$的整数$n$，凸$n$边形$A_1A_2\cdots A_n$有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。
具体来说，每个顶点和相邻两个顶点的连线是$n$边形的边，和其余$n-3$个顶点的连线是对角线。
因此每个点是$n-3$条对角线的端点。另一方面，每条对角线对应两个顶点，因此一共有$\frac{n(n-3)}{2}$条对角线。

凸多边形的内角和是否有规律呢？我们知道三角形的内角和是平角，凸四边形的内角和是两个平角
（或者说周角，如果把角度约定在负平角和正平角之间，则减去一个周角变成零角）。边数继续增多时，
我们定义凸$n$边形$A_1A_2\cdots A_n$的内角和为：

$$ \angle A_1A_2A_3 + \angle A_2A_3A_4 + \cdots + \angle A_{n-2}A_{n-1}A_{n} + \angle A_{n-1}A_{n}A_{1}+ \angle A_{n}A_{1}A_{2}$$

如果我们不把角度限定在负平角和正平角之间，可以猜测：凸$n$边形的内角和是$n-2$个平角。

如果凸多边形是圆内接多边形，我们可以这样证明：$n$个顶点把圆分为$n$段圆弧。每个顶点张成的内角，
对应了其中$n-2$段圆弧。如果考虑所有$n$个内角对应的圆弧，则每段圆弧计入$n-2$次（圆弧两端是内角顶点的时候不计入，
其它情况下都计入）。也就是说，$n$个内角和对应$n-2$个整圆。这些内角都是圆周角，
因此它们的和是$n-2$个整圆对应的圆周角，即$n-2$个平角。我们的猜想至少对圆内接多边形是正确的。

对一般凸多边形的情况，我们可以通过不断“裁剪”三角形来证明。我们还记得，凸四边形可以裁成两个三角形，
因此它的内角和是两个三角形的内角和。从另一个角度来看，我们通过裁掉一个三角形，把凸四边形变成了三角形。
对一般的凸$n$边形$A_1A_2\cdots A_n$来说，由于它的每个内角都介于零角和平角之间，我们可以考虑裁掉某个角，
把它变成$n-1$边形。比如，沿着线段$A_1A_3$剪一刀，
就把$A_1A_2\cdots A_n$分成了三角形$A_1A_2A_3$和$n-1$边形$A_1A_3\cdots A_n$。

\begin{tm}\label{tm:1-4-0}
    凸$n$边形的内角和是$n-2$个平角。
\end{tm}
\begin{proof}
    用归纳法证明。命题$P(n)$：凸$n+2$边形的内角和是$n$个平角。我们要证明$P(n)$对所有正整数$n$成立。\\
    $n=1$时，由于三角形内角和是平角，$P(1)$成立。\\
    假设$P(n)$成立，下面证明$P(n+1)$成立。\\
    设有凸$n+3$边形$A_1A_2A_3\cdots A_n$，将它裁成三角形$A_1A_2A_3$和$n-1$边形$A_1A_3\cdots A_n$。
    前者的内角和是平角。根据$P(n)$，后者的内角和是$n$个平角，因此，$A_1A_2A_3\cdots A_n$的内角和是$n+1$个平角。
    于是$P(n+1)$成立。\\
    因此对所有正整数$n$，命题$P(n)$成立。
\end{proof}

满足什么条件时，凸多边形是圆内接多边形呢？最直接的条件，自然是平面上有一个圆，
使多边形顶点都在圆上。或者说，能找到一点，到多边形各个顶点距离相等。

如果难以直接找到这样的点，可以查看多边形各边和各条对角线的垂直平分线。
如果多边形是圆内接多边形，它的边和对角线都是圆的弦，垂径定理说明其垂直平分线过圆心。
具体来说，可以考察两条边（或对角线）的垂直平分线的交点。这点如果到各个顶点距离相等，
那么多边形内接于以它为圆心的圆，否则多边形不是圆内接多边形。

有一种特殊的凸多边形必然是圆内接多边形：\textbf{正多边形}。
正多边形是各边等长，各内角相等的多边形。正三角形、正方形都是正多边形。
正多边形各个的内角角度是$\frac{180(n-2)}{n}^\circ$。

\begin{xt}\label{xt:1-4-0}
    \mbox{}\\
    \indent 1. 平行四边形、矩形、正方形、梯形、筝形，哪些总是圆内接多边形？哪些可以是圆内接多边形？要满足什么条件？\\
    \indent 2. 设有整数$1 \leqslant i,j,k,l \leqslant n$，圆内接$n$边形$A_1A_2\cdots A_n$中，$\angle A_iA_kA_j$和$\angle A_iA_lA_j$有什么关系？
\end{xt}

\section{弧长与面积}
我们已经学习过圆的周长和面积：圆的周长和直径成正比，比率大约是$3.14$。
这个比率对任意圆都一样，称为\textbf{圆周率}，一般记为$\pi$。
圆的面积则与圆的直径的平方成正比，比率为$\frac{\pi}{4}$。
如果已知圆的半径$r$，圆的周长是它的$2\pi$倍，圆的面积则是$\pi r^2$。
我们是这样求圆的面积的：
\begin{enumerate}
    \item 将圆按圆心均匀分成$n$份，每份是一个小扇形。
    \item 将$n$个小扇形上下交错地排成一排。
    \item $n$很大时，小扇形排成一排后近似一个矩形。它的长是圆周长的一半，宽是圆的半径。
    \item 因此圆的面积等于矩形面积，也就是周长乘半径的一半，或者说半径平方的$\pi$倍。
\end{enumerate}

以上的思路中，不少部分是模糊的，比如“$n$很大”、“近似矩形”等等。
下面，我们从更严格的角度重新认识圆的弧长和面积。

圆是曲线图形。我们知道，圆弧作为圆的一部分，它的长度和半径以及圆心角成正比。设圆的半径为$r$，
圆心角为$m$度，则弧长为$\frac{m\pi r}{180}$。比如，圆心角为直角，对应的弧长就是$\frac{\pi r}{2}$。
另一方面，圆的面积和半径的平方成正比。这是无法从已有公理得到的。我们需要一条新的公理：

\begin{po}{\textbf{相似形面积公理}}
    相似形面积之比是相似比的平方。
\end{po}

圆的定义只涉及圆心和半径，而圆心的位置移动时，圆的大小不变。因此，圆的大小只和半径有关。
而圆的形状与大小无关，也就是说所有圆都相似，而相似比是半径的比。
因此，根据相似形面积公理，相似的圆，面积之比是相似比的平方，也就是半径比的平方。
如果设半径为$1$的圆的面积是$S_1$，那么半径为$r$的圆，面积是$S_1r^2$。

\begin{figure}[H] 
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{tu/圆面积2.png}
\end{figure}

下面来论证$S_1 = \pi$。为此，我们需要详细讨论前面提到的小扇形的面积。

如上图，单位圆的圆心为$O$，半径$|OA|=1$，圆心角$\angle AOB = \frac{360^\circ}{n}$，
小扇形$AOB$的面积是圆$O$面积的$n$分之一。它大于三角形$AOB$的面积。
过$B$作$OA$的垂线，记垂足为$H$，则
$$ S_{\text{扇形}AOB} > S_{\triangle AOB} = \frac12 |OA| \cdot |BH| = \frac12 |BH|. $$

另一方面，作$A$、$B$的中垂线交线段$AB$于点$T$，交圆$O$在$A$点的切线于$P$，则$BP$是
圆$O$在$B$点的切线。小扇形$AOB$的面积小于三角形$AOP$面积与三角形$BOP$面积之和。

过$P$作$BH$的垂线，垂足为$U$，则
$$ |AP|+|BP| = |HU| + |BP| < |HU| + |PU| + |BU| = |BH| + |AH|. $$
因此，
\begin{align*}
    S_{\text{扇形}AOB} &< S_{\triangle AOP} + S_{\triangle BOP}  \\
    &= \frac12 \left( |OA| \cdot |AP| + |OB| \cdot |BP|\right)  \\
    &= \frac12 (|AP| +|BP|)  \\
    &< \frac12 (|BH| + |AH|). 
\end{align*}

我们知道圆弧$\widearc{AB}$的长度为$\frac{2\pi}{n}$。$|BH| < |AB|$，而$AB$作为线段，长度小于$\widearc{AB}$。
如果可以证明$\widearc{AB}$的长度小于等于$|AP| + |BP|$，那么就有
$$ |BH| < \frac{2\pi}{n} \leqslant |AP| + |BP| < |BH| + |AH|.$$
而从图中我们可以猜测，$\angle AOB$接近零角的时候，$|AH|$比$|BH|$小得多。
这个猜测不无道理，实际上，
$$|AH| = |OA| - |AH| = 1 - \sqrt{1 - |BH|^2},$$
而我们可以证明，当$0<x<1$时，$1 - \sqrt{1 - x} < x$，因此，
$$ |AH| < |BH|^2 < \frac{4\pi^2}{n^2}. $$
于是
$$ |BH| > \frac{2\pi}{n} - |AH| > \frac{2\pi}{n} - \frac{4\pi^2}{n^2}. $$

小扇形$AOB$的面积是单位圆面积的$n$分之一，因此，从前面讨论可以得到：
$$ \frac{n}{2} |BH| < n\cdot S_{\text{扇形}AOB} = S_1 < \frac{n}{2} (|BH| + |AH|). $$
因此，单位圆的面积在以下范围内：
$$ \pi - \frac{2\pi^2}{n} < S_1 < \pi + \frac{2\pi^2}{n}. $$
这个结论对任何$n$成立，所以可以写成：
$$ \forall n\in\mathbb{N}, \quad | S_1 - \pi | < \frac{2\pi^2}{n}. $$
无论$n$多大，单位圆的面积和圆周率$\pi$之间的差别总小于$\frac{2\pi^2}{n}$。
这说明单位圆的面积只能等于$\pi$。否则，设$| S_1 - \pi | > 0$，则
当$n$为比$\frac{2\pi^2}{| S_1 - \pi |}$大的整数时，就会有$| S_1 - \pi | \geqslant \frac{2\pi^2}{n}$，产生矛盾。

最后，我们还需要解决一个问题，就是证明$\widearc{AB}$的长度小于等于$|AP| + |BP|$。
这需要我们对曲线长度有更多的了解。要知道，至今为止，
我们对曲线长度的唯一认识，就是从“两点之间线段最短”推出的“连接两点的曲线总比两点之间的线段长”。
曲线什么时候比线段短呢？我们需要引入一个新的公理：

\begin{po}{\textbf{曲线长公理}}
    设$\gamma$是连接两点$A$、$B$的曲线。给定正实数$c$。
    如果对$\gamma$上任意依次选取的若干点$A = A_0, A_1, \cdots , A_m = B$，
    总有
    $$ |A_0A_1| + |A_1A_2| + \cdots + |A_{m-1}A_m| \leqslant c,$$
    那么曲线$\gamma$的长度小于等于$c$。
\end{po}
通常把线段$A_0A_1$、$A_1A_2$等合称为曲线$\gamma$上的折线，记为$A_0A_1\ldots A_m$。曲线长公理说明，
曲线的长度就是曲线上折线长度的上限。

来看圆弧的长度。
\begin{tm}\label{tm:1-5-0}
    给定圆$O$，设圆心与圆上两点$B$、$C$的连线分别交圆在圆上一点
    的切线于$D$、$P$，则$|BC| < |DP|$。
\end{tm}
\begin{proof}
    如下图左，我们过$D$作$DE \parallel BC$交$OP$于$E$，
    则$\triangle BOC \sim \triangle DOE$。$|OD| > |OB|$，因此
    $|BC| < |DE|$。
    另外，$\triangle DOE$也是等腰三角形，因此$\angle OED = \angle EDO$。于是
    \begin{align*}
        \angle OPD &= 180^\circ - \angle DOP - \angle PDO  \\
        &> 180^\circ - \angle EDO  \\
        &= 180^\circ - \angle OED = \angle DEP 
    \end{align*}
    这说明$\triangle EDP$中，$|DE| < |DP|$。于是
    $$ |BC| < |DE| < |DP|. $$
\end{proof}

\begin{figure}[H] 
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{tu/圆面积3.png}
\end{figure}

下面证明$\widearc{AB}$的长度小于等于$|AP| + |BP|$。设$OP$交圆于$Q$，如上图右，设有$\widearc{AQ}$上的折线
$AA_1A_2\cdots A_{m-1}Q$。从圆心出发经过折线各端点的射线分别交$AP$于$P_1$、$P_2$、$P_{m-1}$、$P_m=P$，
根据定理$\ref{tm:1-5-0}$，
$$|AA_1| < |AP_1|, \,\, |A_1A_2| < |P_1P_2|, \,\, \cdots , \,\, |A_{m-1}Q| < |P_{m-1}P|.$$
因此折线长度小于$|AP|$。根据曲线长公理，$\widearc{AQ}$的长度小于等于$|AP|$。
同理，$\widearc{QB}$的长度小于等于$|BP|$。因此$\widearc{AB}$的长度小于等于$|AP|+|BP|$。

总结以上的讨论，我们从圆周率$\pi$出发，说明了圆的面积等于半径平方的$\pi$倍。那么，圆周率本身是否存在呢？
我们仍然可以从曲线长公理和定理$\ref{tm:1-5-0}$出发讨论。

\begin{figure}[H] 
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{tu/圆面积1.png}
\end{figure}

如果一个多边形覆盖一个圆，且每条边都和它相切，就说这个多边形是圆的\textbf{外切多边形}。
我们可以做出圆的内接正$n$边形和外切正$n$边形。上图是$n=12$的情形。

圆的周长总大于等于其内接多边形的周长，而根据定理$\ref{tm:1-5-0}$，圆的周长总小于等于其外切正多边形的周长。
因此，我们总能得到圆周率的范围。比如，$n=4$时，我们可以得出$2\sqrt{2} < \pi < 4$。
随着$n$增大，直观上圆的外切正$n$边形和内接正$n$边形的相似比将越来越接近$1$，它们的周长之差将越来越小，
因此越来越接近圆的周长。最终两者将趋于同一个值，也就是圆的周长。

\begin{sk}
    以上证明圆的面积的过程中 \\
    \indent 1. 是否有别的方法证明$|AH| < |BH|^2$？\\
    \indent 2. 是否能证明$\widearc{AB}$的长度小于$|AP| + |BP|$？
\end{sk}

\begin{xt}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 证明：对$0<x<1$，总有$1 - x < \sqrt{1 - x} .$\\
    \indent 2. 证明：延长等腰三角形$OAB$两腰至$C,D$，则$|AB| < |CD|$。
\end{xt}

\chapter{三角函数}
通过研究点、直线、角和三角形、四边形、圆形，我们对简单的平面图形有了更多的认识。
其中对三角形的研究贯通了我们对各种形状的探索。通过对三角形性质的理解，
我们建立了三角形和四边形、圆形乃至更复杂的形状之间的关系。

如果对前面学习的知识做一次整理，我们会发现，大多数的结论要么和共点、共线、共圆有关，
要么是长度之间、角度之间的相等或简单倍数关系。我们把这些结论称为定性结论。

在科学研究和生产实践中，我们更需要知道的是形状之间定量的关系。
比如，如果三角形的三边长度分别是$4,5,6$，我们希望知道三角形内角到底是多少度。
又比如，如果菱形两条邻边长度为$1$，夹角为$50^\circ$，我们希望知道菱形对角线的长度。
为此，我们从三角形的边角关系着手研究。

\begin{wrapfigure}[5]{r}{0.4\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-0pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.36\textwidth]{tu/三角函数1.png}
\end{wrapfigure}
我们的目标是解三角形：已知三角形部分边角的大小，求其余边角的值。

\section{正弦函数}
如右图，我们想知道三角形$ABC$中$\angle A$的角度和对边$BC$长度的关系。
为此，我们作$ABC$的外接圆$O$，则$BC$是$O$的弦。$\angle A$作为圆周角，
是圆心角$\angle COB$的一半。作$BC$中点$M$，则$\angle A = \angle MOB$。
这样，我们就把一般三角形的边角关系转化成了直角三角形$MBO$的边角关系。

那么，直角三角形的角和边有什么关系呢？我们先来看另一个问题。

考虑半径为$1$的圆$O$（这个圆以后会经常出现，我们把它叫做\textbf{单位圆}）和圆上一点$S$。
给定角$\alpha$，以$OS$为始边，角的终边交圆$O$于点$P$。
称$\triangle SOP$为角$\alpha$对应的\textbf{单位三角形}（如下图）。
根据三角形面积公式（底乘高除以$2$），单位三角形的面积等于$P$到始边距离的一半。

\begin{figure}[H] %this figure will be at the right
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{tu/三角函数2.png}
    % \caption*{\texttt{垂心和外接圆}}
\end{figure}

不难看出，$\alpha$为直角时，单位三角形的面积最大，为$\frac{1}{2}$。其它情况下，运用勾股定理可知，
$P$到始边距离小于半径，因此面积小于$\frac{1}{2}$。

我们把角$\alpha$对应的单位三角形的面积和直角对应的单位三角形面积之比称为$\alpha$的正弦或正弦值，
记为$\sin \alpha$。$\sin A$就是$P$到始边距离，也就是前面直角三角形$MBO$中$BM$与外接圆半径之比，
或弦长与外接圆直径之比。

角度在零角到平角之间的每个角，都可以按以上方法定义正弦。更准确来说，我们定义的是角度的正弦。不过，
它实际上对应着一个把数映射到数的映射，也就是函数。比如，$0$和$180$之间的任何实数，
都通过角度制的圆映射对应某个角度，从而对应某个正弦值。

另一种对应方法使用弧度，也就是把角度在单位圆上对应的弧长映射到角度的正弦值。
比如，$60^\circ$角对应着圆周的六分之一，
在单位圆上对应的弧长是$\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$。
我们就说$60^\circ$角的正弦值是$\sin \frac{\pi}{3}$。
把角度或角度在单位圆上的弧长对应到角度的正弦值的函数，称为\textbf{正弦函数}。

正弦函数有什么性质呢？观察不同角度对应的单位三角形可知，零角的正弦值是$0$（退化的三角形面积为$0$）。
从零角出发，随着角度增大，正弦值不断增大；直角时，正弦值达到最大值$1$。然后，随着角度增大，
正弦值不断减小；平角时，正弦值减为$0$。

两个角互为补角时，对应的单位三角形是同一个菱形按不同对角线剖开得到的一半。所以两者面积相等。
也就是说，\textbf{两个角互为补角，则正弦值相等}。因此，我们将把重点放在研究锐角的正弦值上。

\begin{figure}[H] %this figure will be at the right
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{tu/正弦菱形1.png}
    % \caption*{\texttt{垂心和外接圆}}
\end{figure}

对具体的某个角度来说，怎么计算它的正弦值呢？这个问题不简单。以我们掌握的知识，
还无法精确计算任意角度的正弦值，甚至难以估计任意角度的正弦值。求解任意角度的正弦值属于实变函数分析的重要基础内容。
目前，我们可以使用正弦函数表，查找角度的正弦值，或通过使用计算器、编程等方式，
借助计算机计算角度的正弦值。使用正弦表，可以方便地查找角度对应的正弦值。以下是整数角度的正弦表：

% 正弦表
\begin{center}
    \begin{tabular}{| p{1em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} | p{2.4em}<{\centering} |}
        \hline
                  & $0^\circ$& $10^\circ$ & $20^\circ$ & $30^\circ$ & $40^\circ$ & $50^\circ$ & $60^\circ$ & $70^\circ$ & $80^\circ$ \\ [0.5ex] 
        \hline
        $0^\circ$ & $0.0000$ &  $0.1736$  &  $0.3420$  &  $0.5000$  &  $0.6428$  &  $0.7660$  &  $0.8660$  &  $0.9397$  &  $0.9848$  \\
        \hline
        $1^\circ$ & $0.0175$ &  $0.1908$  &  $0.3584$  &  $0.5150$  &  $0.6561$  &  $0.7771$  &  $0.8746$  &  $0.9455$  &  $0.9877$  \\
        \hline
        $2^\circ$ & $0.0349$ &  $0.2079$  &  $0.3746$  &  $0.5299$  &  $0.6691$  &  $0.7880$  &  $0.8829$  &  $0.9511$  &  $0.9903$  \\
        \hline
        $3^\circ$ & $0.0523$ &  $0.2250$  &  $0.3907$  &  $0.5446$  &  $0.6820$  &  $0.7986$  &  $0.8910$  &  $0.9563$  &  $0.9925$  \\
        \hline
        $4^\circ$ & $0.0698$ &  $0.2419$  &  $0.4067$  &  $0.5592$  &  $0.6947$  &  $0.8090$  &  $0.8988$  &  $0.9613$  &  $0.9945$  \\
        \hline
        $5^\circ$ & $0.0872$ &  $0.2588$  &  $0.4226$  &  $0.5736$  &  $0.7071$  &  $0.8192$  &  $0.9063$  &  $0.9659$  &  $0.9962$  \\
        \hline
        $6^\circ$ & $0.1045$ &  $0.2756$  &  $0.4384$  &  $0.5878$  &  $0.7193$  &  $0.8290$  &  $0.9135$  &  $0.9703$  &  $0.9976$  \\
        \hline
        $7^\circ$ & $0.1219$ &  $0.2924$  &  $0.4540$  &  $0.6018$  &  $0.7314$  &  $0.8387$  &  $0.9205$  &  $0.9744$  &  $0.9986$  \\
        \hline
        $8^\circ$ & $0.1392$ &  $0.3090$  &  $0.4695$  &  $0.6157$  &  $0.7431$  &  $0.8480$  &  $0.9272$  &  $0.9781$  &  $0.9994$  \\
        \hline
        $9^\circ$ & $0.1564$ &  $0.3256$  &  $0.4848$  &  $0.6293$  &  $0.7547$  &  $0.8572$  &  $0.9336$  &  $0.9816$  &  $0.9998$  \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}
每列的数据十位相同，每行的数据个位相同。比如，要查$26^\circ$的正弦值，就在十位为$2$的第三列，找到个位为$6$的
第七行，查得正弦值为$0.4384$。

对于非整数角度的正弦值，我们可以查询更精确的正弦表，或者用一次函数来近似估计。
如果我们把整数角度的正弦值看作正弦函数的函数值，在直角坐标系上画出函数值对应的点，
可以观察到正弦函数的值从$0$平稳增长到$1$。因此，可以认为两个整数角度之间，
正弦函数的图像近似于线段，也就是一次函数图像的一部分。因此，非整数角度的正弦值可以通过计算线段上点的坐标而得到。

举例来说，$37^\circ$和$38^\circ$之间的角度（比如说$37.3^\circ$）的正弦值，
可以看作经过$(37, \sin 37^\circ)$和$(38, \sin 38^\circ)$两点的一次函数图像在横坐标为$37.3$时对应的纵坐标。
这个一次函数可以写成：

$$ y = \sin 37^\circ + \frac{\sin 38^\circ - \sin 37^\circ}{38 - 37} \cdot (x - 37)$$

横坐标$x=37.3$时，代入函数表达式，就得到：
\begin{align*}
    y &= \sin 37^\circ + 0.3\cdot(\sin 38^\circ - \sin 37^\circ )  \\
    &= 0.6018 + 0.3 \cdot (0.6157 - 0.6018) \approx 0.60597 
\end{align*}
实际上$\sin 37.3^\circ \approx 0.60599$，可见偏差不大。

反过来，如果已知角的正弦值，也可以通过查表，估计角度的大小。比如，已知$\sin A = 0.83$，
查表可知$\angle A$大小在$56^\circ$和$57^\circ$之间。

\begin{wrapfigure}[5]{r}{0.42\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-25pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{tu/正弦习题1.png}
\end{wrapfigure}

想一想，如果要得到更精确的结果，
除了查询更精确的正弦表，还可以怎么做？

\begin{xt}
    如右图，延长$BA$交$l$于点$P$。\\
    \indent 1. 计算$S_{\triangle AOP}$和$S_{\triangle BOP}$。 \\
    \indent 2. 通过比较$S_{\triangle AOP}$和$S_{\triangle BOP}$，证明锐角的正弦值随角度增大而增大，
    钝角的正弦值随角度增大而减小。 \\
    \indent 3. 从$46^\circ$、$48^\circ$的正弦值出发，用一次函数近似估计$47^\circ$，
    和正弦表上的值比较。哪个值比较大？对别的角度试一试，估计值的偏差有什么规律？ \\
    \indent 4. 已知某锐角的正弦值为$0.73$，请估计它的角度大小。
\end{xt}

\section{正弦定理}

我们可以用正弦值来探讨三角形的边角关系。首先把正弦值应用到一般三角形的面积上。
我们知道$\angle A$对应的单位三角形的面积是$\frac{1}{2}\sin A$。
如果$\angle A$的两邻边长度分别是$b$和$c$，那么根据等高三角形的面积关系，
三角形的面积是单位三角形的$bc$倍，也就是$\frac{1}{2}bc\sin A$。

定理：三角形两边长度为$b$和$c$，夹角为$A$，则面积为$\frac{1}{2}bc\sin A$。

设三角形$ABC$中$A,B,C$对边长度为$a,b,c$，那么它的面积可以用三种方式表示：
$$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A.$$
两边除以$\frac{abc}{2}$，就得到：
$$  \frac{2S_{\triangle ABC}}{abc} = \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}. $$

\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.4\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-30pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.36\textwidth]{tu/三角函数1.png}
\end{wrapfigure}

上式告诉我们，三角形三个内角的正弦值和对边长度的比是定值$\frac{2S_{\triangle ABC}}{abc}$。
如何理解这个定值呢？让我们回到前面的三角形$MOB$。
我们知道$BM = \mathtt{R}\sin A$，其中$\mathtt{R}$是$\triangle ABC$外接圆半径。
所以$ \frac{a}{2} = \mathtt{R}\sin A$，即$ \frac{\sin A}{a} = \frac{1}{2\mathtt{R}}$。也就是说，
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =  2\mathtt{R}. $$

\begin{tm}{\textbf{正弦定理} }\label{tm:2-1-10}
    三角形任一边长与其对角正弦值之比为外接圆直径。
\end{tm}
从正弦定理可以立刻得出：三角形的面积等于三边长之积与外接圆半径之比的四分之一。
$$S_{\triangle ABC} = \frac{abc}{4\mathtt{R}}. $$ 

下面来看正弦定理的具体应用。

\begin{ex}\label{ex:2-1-10}
    三角形$ABC$中，边$AB$、$AC$长度分别为$3$和$5$，$\angle B = 80^\circ$，求$BC$的长度和$\angle C$的大小。    
\end{ex}
\begin{so}
    根据正弦定理：
    $$ \frac{|AC|}{\sin B} = \frac{|AB|}{\sin C},$$
    所以$\sin C = \frac{|AB|\sin B}{|AC|}$。
    查表知$\sin 80^\circ = 0.9848$，算得$\sin C \approx 0.5909$，
    反查正弦表可知$\angle C \approx 36.2^\circ$或$\angle C \approx 143.8^\circ$。
    由于三角形内角和是平角，$\angle C + \angle B < 180^\circ$，故排除$\angle C \approx 143.8^\circ$。
    于是$\angle C \approx 36.2^\circ$，$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C \approx 63.8^\circ$，
    使用正弦定理可算得：
    $$ |BC| = \frac{|AB|\sin A}{\sin B} = \frac{3 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 63.8^\circ} \approx 3.29 $$
\end{so}

已知三角形两边长度和其中一边对角的大小，可以根据正弦定理得出另一边对角的正弦值，从而得出它的角度。
用平角减去两角角度，就得到第三个角的大小。再次使用正弦定理，就得到第三边的长度。要注意的是，
用正弦定理算出的是角的正弦值，而不是角度。由于互为补角的正弦值相等，同一个正弦值对应两个互为补角的角度。
因此，给定三角形两边和其中一边的对角，并不一定能确定三角形的形状。换句话说，“边边角”不能用来证明三角形全等。

\begin{ex}\label{ex:2-1-20}
    已知三角形$ABC$中，$\angle A = 64^\circ$，$\angle B = 75^\circ$，$\angle C$对边长度$c=4$，求另两边的长度。
\end{ex}
\begin{so}
    三角形内角和为平角，所以$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 41^\circ$。根据正弦定理：
    $$ \frac{a}{\sin 64^\circ} = \frac{b}{\sin 75^\circ} = \frac{c}{\sin 41^\circ}.$$
    所以$a = \frac{c \sin 64^\circ}{\sin 41^\circ} = \frac{4 \times 0.8988}{0.6561} \approx 5.48 $，$b = \frac{c \sin 75^\circ}{\sin 41^\circ} = \frac{4 \times 0.9659}{0.6561} \approx 5.89 $。
\end{so}

已知两内角大小和一边的长度，等于知道所有内角大小和一边边长。根据正弦定理，可以算出另两边的长度。
这说明“角边角”和“角角边”都可以用来证明三角形全等。

正弦定理不仅可以用来处理定量关系，也可以用来处理定性关系。三角形的边长和对角的正弦值之比是定值，
所以，边长越大，对角的正弦值也越大。而锐角的正弦值随着角度增大而增大，至直角达到最大。
所以，锐角和直角三角形中，较大的边，对角也较大，较大的角，对边也较大。
这个性质称为“\textbf{大边对大角}”、“\textbf{大角对大边}”。

对钝角三角形，“大边对大角”、“大角对大边”的结论是否也成立呢？
设三角形$ABC$中$\angle A$是钝角，则$\angle A$的补角是锐角。
三角形内角和为平角，所以$180^\circ - \angle A = \angle B + \angle C > \angle B$，
$\angle A$的补角大于$\angle B$，即$\sin A = \sin (B + C) > \sin B$。
同理，$\sin A > \sin C$。钝角$\angle A$作为较大的角，
其正弦值大于锐角$\angle B$和$\angle C$。
而$\angle B$和$\angle C$同为锐角，“大边对大角”、“大角对大边”的结论在两者之间同样成立。
综上所述，任意三角形中，“大边对大角”、“大角对大边”的结论总成立。

\begin{xt}\label{xt:2-1-10}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 设三角形$ABC$内角$A,B$的公共边为$c$，证明：$S_{\triangle ABC} = \frac{c^2\sin A\sin B}{\sin (A+B)}$。 \\
    \indent 2. 三角形一边的长度是另一边的$2$倍。证明：至少有一个内角不大于$30^\circ$，一个内角不小于$75^\circ$。 \\
    \indent 3. 已知三角形$ABC$中$\angle A = 36^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，$\angle C$对边长度$c = 8$，求另两边的长度。 \\
    \indent 4. 已知三角形两边长度是$4$、$5$，一个内角是$40^\circ$，第三边的长度有几种可能？找出所有满足条件的三角形。 \\
    \indent 5. 已知三角形两边长度是$4$、$5$，一个内角是$70^\circ$，第三边的长度有几种可能？结论和上一题有什么不同？找出所有满足条件的三角形。
\end{xt}


\section{余弦函数}
\begin{ex}\label{ex:2-2-10}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 三角形$ABC$中，边$BC$、$AC$的长度分别是$4$、$6$，$\angle C = 50^\circ$，求$AB$长度。\\
    \indent 2. 三角形$ABC$中，边$AB$、$AC$、$BC$的长度分别为$3$、$5$、$6$，求三个内角的大小。
\end{ex}
使用正弦定理，我们列出以下等式：\\
\indent 1. $ \frac{4}{\sin A} = \frac{6}{\sin B} = \frac{|BC|}{\sin 50^\circ}.$ \\
\indent 2. $ \frac{6}{\sin A} = \frac{5}{\sin B} = \frac{3}{\sin C}.$

每个等式中都有两个未知量。我们无法直接用正弦定理计算内角的正弦值了。
不过，既然我们能通过“边边边”和“边角边”证明三角形全等，这让我们猜想，有别的方法计算内角的角度。

第一题中，让我们把$\angle C$改为直角，那么根据勾股定理，$|AB| = \sqrt{4^2+6^2} = 2\sqrt{13}$。

第二题中，让我们把$AB$、$AC$、$BC$的长度换成$3$、$4$、$5$，我们观察到最长边边长的平方等于另两边边长的平方和。
根据勾股定理逆定理，三角形是直角三角形。所以$\angle A$是直角。
用正弦定理解得$\sin B = 0.8$，$\sin C = 0.6$，查表可知$\angle B \approx 53^\circ$，
$\angle C \approx 37^\circ$。

可以看出，对于直角三角形，由于有勾股定理作为“武器”，我们总可以破解三角形的边角关系。
因此，我们需要“升级装备”，把勾股定理推广为对一般的三角形也适用的结论。
为此，我们需要定义角的余弦。

什么是角的余弦呢？我们已经定义了角的正弦。在直角三角形中，锐角的正弦是对边长度与斜边长度之比。
这个公式中我们用到了三角形的两条边。我们定义锐角的\textbf{余弦}（或\textbf{余弦值}）
为剩余的直角边（也就是相邻的直角边）长度与斜边长度之比。在$MOB$的例子中，
角$A$的余弦就是弦$BC$的弦心距，记为$\cos A$。

显然，直角三角形中，一个锐角的邻边就是另一个锐角的对边。所以\textbf{锐角的余弦等于它的余角的正弦}：
$$ \forall \,\, 0 \leqslant A \leqslant 90^\circ, \,\,\, \cos A = \sin (90^\circ - A). $$
这样我们就定义了\textbf{余弦函数}。零角的余弦是$1$。从零角出发，随着角度增大，角的余弦逐渐减小。
直角时，余弦值达到最小值$0$。

此外，角的正弦和余弦分别是直角三角形两条直角边和斜边的比值。所以根据勾股定理，
$$ \cos^2 A + \sin^2 A = 1.$$
其中$\cos^2 A, \sin^2 A$分别是$(\cos A)^2, (\sin A)^2$的简便记法。这个结论也叫\textbf{三角勾股定理}。

怎么计算角的余弦值呢？从三角勾股定理定理可以看出，已知锐角的正弦，就可以得到它的余弦：
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$。所以，可以查正弦表得到角的正弦值，再求出余弦值。
反过来，已知锐角的余弦，可以先算出它的正弦，然后查表得到角度。

\begin{xt}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 从等腰直角三角形的性质出发，计算$45^\circ$的正弦和余弦值。 \\
    直角三角形$ABC$中，$\angle C$是直角。斜边长度$c$是直角边长度$a$的$2$倍。 \\
    \indent 2. 作斜边中点$M$，证明：$\triangle BMC$是正三角形。 \\
    \indent 3. 计算$30^\circ$和$60^\circ$的正弦和余弦值。 \\
    等腰三角形$ABC$中，顶角$\angle A$是底角$\angle B$的$2$倍。 \\
    \indent 4. 设$\angle B$的平分线交对边于点$D$。证明：$\triangle ABC \sim \triangle BCD$。 \\
    \indent 5. 设底边长$a = 1$，腰长$b = c = x$，证明：$x^2 - x - 1 = 0$。 \\
    \indent 6. 计算$18^\circ$、$36^\circ$、$54^\circ$和$72^\circ$的正弦和余弦值。
\end{xt}

\section{余弦定理}

定义了角的余弦，我们再来看前面“边边边”的问题（例题\ref{ex:2-2-10}第一题）。
如果$\angle C$是直角，那么根据勾股定理，可以直接求出$AB$长度。如果$\angle C$不是直角，
我们希望把问题转化为直角三角形的边角关系。

作顶点$A$到$BC$的高，记垂足为$H_A$，则$H_A \neq C$。$\triangle ACH_A$是直角三角形，
所以$|AH_A| = |AC|\sin C = b\sin C$。如果$\angle C$是锐角，那么$H_A$在线段$BC$上，
$|CH_A| = |AC|\cos C = b\cos C$；如果$\angle C$是钝角，那么$H_A$在线段$BC$延长线上，
$|CH_A| = |AC|\cos C = b\cos (180^\circ - C)$。

\begin{figure}[H] %this figure will be at the right
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{tu/余弦定理1.png}
    % \caption*{\texttt{垂心和外接圆}}
\end{figure}

$\triangle ABH_A$是直角三角形。根据勾股定理，$|AB|^2 = |AH_A|^2 + |BH_A|^2 $。
如果$\angle C$是锐角，那么
$$ |AB|^2 = |AH_A|^2 + |BH_A|^2 = |AH_A|^2 + (|BC| - |CH_A|)^2$$
即
\begin{align*}
    c^2 &= (b\sin C)^2 + (a - b\cos C)^2  \\
    &= b^2\sin^2 C + b^2\cos^2 C + a^2 - 2ab\cos C  \\
    &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C 
\end{align*}

我们得到了$a$、$b$、$c$和$\angle C$的关系。这个关系叫做\textbf{余弦定理}。
可以看出，$\angle C$为直角时，余弦定理就变成了勾股定理。所以，余弦定理是勾股定理的“升级版本”，
勾股定理可以看作是余弦定理的特例。
使用余弦定理，我们可以解决例题\ref{ex:2-2-10}第一题。
\begin{so}
    根据余弦定理，
    $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 4^2 + 6^2 - 2\cdot 4\cdot 6 \cos 50^\circ \approx 21.15.$$
    因此$c \approx \sqrt{21.15} \approx 4.6$。
\end{so}
用同样的方法，能否解决第二题呢？我们列出等式：
$$6^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3\cdot 5 \cos C $$
解得$\cos C = -\frac{1}{15}$。显然，任何锐角或直角的余弦都不是负数。我们猜测，这是因为$C$是钝角，
而前面的推导中，$\angle C$是锐角。

来看$\angle C$是钝角的情况。如果$\angle C$是钝角，那么
$$ |AB|^2 = |AH_A|^2 + |BH_A|^2 = |AH_A|^2 + (|BC| + |CH_A|)^2$$
即
\begin{align*}
    c^2 &= (b\sin C)^2 + (a + b\cos (180^\circ - C))^2  \\
    &= b^2\sin^2 C + b^2\cos^2 (180^\circ - C) + a^2 + 2ab\cos (180^\circ - C) 
\end{align*}

可以看到，对钝角三角形，余弦定理的表达式比锐角三角形复杂很多。
把$a=3$、$b=5$、$c=6$代入钝角的余弦定理公式，我们发现难以解出$C$。
公式中，含有$C$的项无法像锐角的情况里那样合并化简，原因在于我们没有定义钝角的余弦值，
只能用锐角$180^\circ - C$的余弦值来表示。

如何定义钝角的余弦值呢？钝角的正弦为其补角的正弦。我们希望钝角的余弦也满足三角勾股定理：
$$ \sin^2 C +  \cos^2 C = 1 $$
这就要求
\begin{align*}
    \cos C &= \sqrt{1 - \sin^2 C}  \\
    &= \sqrt{1 - \sin^2 (180^\circ - C)}  \\
    &= \pm\cos (180^\circ - C) 
\end{align*}

如果我们定义钝角的余弦为它补角的余弦：$ \cos C = \cos (180^\circ - C)$，钝角三角形的余弦定理就变成：
$$ c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos C.$$
如果我们定义钝角的余弦为它补角的余弦的相反数：$ \cos C = -\cos (180^\circ - C)$，钝角三角形的余弦定理就变成：
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C.$$
显然，后一种情况下，钝角三角形和锐角三角形余弦定理的形式就统一了。接下来我们会看到，后者在各个方面都更加合理。

\begin{xt}
    \mbox{}\\
    \indent 1. 已知三角形三边长为$5$、$7$、$8$，求三内角的大小。\\
    $\triangle ABC$中，$|AB|=6,|BC|=3,|CA|=5$，\\
    \indent 2. 求$\angle A$的大小。\\
    \indent 3. 求$\angle B, \angle C$的大小。
\end{xt}

\section{和差角公式}

解决平面形状的问题时，我们常常需要处理角度的和与差。给定两个角度$\alpha$、$\beta$，
我们希望能够给出$\alpha + \beta$、$\alpha - \beta$的正弦和余弦值。换句话说，
我们希望能够打通正弦函数、余弦函数和实数的加减法的关系。

\begin{figure}[H] %this figure will be at the right
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{tu/和角正弦公式1.png}
    % \caption*{\texttt{垂心和外接圆}}
\end{figure}

让我们从两个锐角的和出发。如上图，$\alpha = \angle APO$和$\beta = \angle OPB$都是锐角，
$OP \perp AB$。$\triangle AOB$的面积是$\triangle AOP$、$\triangle BOP$面积之和。用相应的面积公式表示：
$$ \frac12 |AP||BP|\sin(\alpha + \beta) = \frac12 |AP||OP|\sin\alpha + \frac12 |OP||BP|\sin\beta$$
因此：
$$ \sin(\alpha + \beta) = \frac{|OP|}{|BP|}\sin\alpha + \frac{|OP|}{|AP|}\sin\beta$$
$\triangle AOP$、$\triangle BOP$都是直角三角形，所以$|OP| = |AP|\cos \alpha = |BP|\cos \beta$。
代入上式，就得到：
$$ \forall \,\, 0 < \alpha, \beta < 90^\circ , \,\,\, \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin\beta.$$
这就是两锐角之和正弦值的公式，简称\textbf{和角正弦公式}。可以验证，当$\alpha$、$\beta$是零角或直角的时候，
公式仍然成立。所以，可以把公式的适用范围扩大为$0 \leqslant \alpha , \beta \leqslant 90^\circ$。

\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.25\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-45pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.24\textwidth]{tu/差角正弦公式1.png}
\end{wrapfigure}

对于两锐角之差，可以用类似的方式推导。如右图，设$\alpha = \angle APO > \beta = \angle BPO$，
$\triangle AOP$的面积是$\triangle APB$、$\triangle OPB$面积之和。比照和角正弦公式的推导，可以得到：
$$ \forall \,\, 0 <  \beta < \alpha < 90^\circ , \,\,\, \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin\beta.$$

是为两锐角之差正弦值的公式，简称\textbf{差角正弦公式}。可以验证，无论是当$\alpha$、$\beta$是零角或直角的时候，
还是$\alpha = \beta$的时候，公式仍然成立。
所以，可以把公式的适用范围扩大为$0 \leqslant \beta \leqslant \alpha \leqslant 90^\circ$。

注意到和角、差角正弦公式中都出现了角的余弦，我们可以据此推出和角、差角的余弦公式。
首先，假设$\alpha$、$\beta$、$\alpha - \beta$都是锐角。从和角正弦公式出发，可以得到这样的关系：
$$ \sin(\alpha) = \sin(\alpha - \beta + \beta) = \sin (\alpha - \beta) \cos \beta + \cos(\alpha - \beta) \sin\beta.$$
这个等式中只有$\cos(\alpha - \beta)$是未知的。根据差角正弦公式，可以得到：
\begin{align*}
    \sin(\alpha) &= \sin (\alpha - \beta) \cos \beta + \cos(\alpha - \beta) \sin\beta  \\
    &= (\sin\alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin\beta) \cos \beta + \cos(\alpha - \beta) \sin\beta  \\
    &= \sin\alpha \cos^2 \beta - \cos \alpha \sin\beta \cos \beta + \cos(\alpha - \beta) \sin\beta 
 \end{align*}
因此
\begin{align*}
    \sin\beta \cos(\alpha - \beta) &= \sin \alpha - \sin\alpha \cos^2 \beta + \cos \alpha \sin\beta \cos \beta  \\
    &= \sin \alpha (1 - \cos^2 \beta) + \cos \alpha \sin\beta \cos \beta  \\
    &= \sin\alpha \sin^2 \beta + \cos \alpha \sin\beta \cos \beta  \\
    &= \sin\beta (\sin\alpha \sin \beta +  \cos \alpha \cos \beta) 
 \end{align*}
两边约去$\sin \beta$，就得到：
$$ \forall \,\, 0 <  \beta < \alpha < 90^\circ , \,\,\, \cos(\alpha - \beta) = \sin\alpha \sin \beta +  \cos \alpha \cos \beta. $$
这就是两锐角之差余弦值的公式，简称\textbf{差角余弦公式}。

同理，假设$\alpha$、$\beta$、$\alpha + \beta$都是锐角，从差角正弦公式出发，可以得到：
\begin{align*}
      \sin(\alpha) &= \sin(\alpha + \beta - \beta) = \sin (\alpha + \beta) \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) \sin\beta  \\
      &= (\sin\alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin\beta) \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) \sin\beta  \\
      &= \sin\alpha \cos^2 \beta + \cos \alpha \sin\beta \cos \beta - \cos(\alpha + \beta) \sin\beta  
 \end{align*}
因此
\begin{align*}
    \sin\beta \cos(\alpha + \beta)  &= -\sin \alpha + \sin\alpha \cos^2 \beta + \cos \alpha \sin\beta \cos \beta  \\
    &= -\sin \alpha (1 - \cos^2 \beta) + \cos \alpha \sin\beta \cos \beta  \\
    &= -\sin\alpha \sin^2 \beta + \cos \alpha \sin\beta \cos \beta  \\
    &= \sin\beta (\cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha \sin \beta) 
 \end{align*}
两边约去$\sin \beta$，就得到：
$$  \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha \sin \beta. $$
这就是两锐角之和余弦值的公式，简称\textbf{和角余弦公式}。

要注意的是，上面的推导中，我们假设$\alpha$、$\beta$、$\alpha + \beta$是锐角。
然而，推导中涉及的项，除了$\cos(\alpha + \beta)$，都不要求$\alpha + \beta$是锐角。
另一方面，在和角余弦公式中，只要确定了$\alpha$、$\beta$，
就能计算$\cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha \sin \beta$。
所以，$\alpha + \beta$是直角或钝角时，我们可以定义$\cos(\alpha + \beta)$为关于$x$的方程：
$$  x = \cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha \sin \beta $$
的唯一解。这样，我们就定义了钝角的余弦值。当然，这样定义钝角余弦值，不好理解。
为了好理解，我们仿照正弦，给出互为补角的两角余弦的关系。这样，通过单个锐角的余弦值，就能得到钝角的余弦值了。

在和角余弦公式中，令较大角为直角，代入得到
$$  \forall \,\, 0 \leqslant \beta \leqslant 90^\circ , \,\,\, \cos(90^\circ + \beta) = - \sin\beta. $$

对锐角$\beta$来说，$90^\circ - \beta$也是锐角，于是：
$$ -\cos \beta = - \sin(90^\circ - \beta) = \cos(180^\circ - \beta). $$
这说明$ \cos(180^\circ - \beta) =  -\cos \beta$。\textbf{互为补角的两角，余弦值互为相反数}。

上一节中，我们让钝角的余弦等于其补角的相反数。现在我们看到，这个选择是合理的。
至此，我们可以写出余弦定理的统一形式：

\begin{tm}{\textbf{余弦定理}}\label{tm:2-4-10}
    设三角形$ABC$的内角$A,B,C$对边长度分别为$a,b,c$，则
    $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \,\,\, b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos B, \,\,\, c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. $$
\end{tm}
余弦定理说明，三角形内角的余弦值，决定了它对边边长的平方与另两边边长的平方和的大小关系。
锐角的余弦值大于$0$，它对边边长的平方小于另两边边长的平方和。钝角的余弦值小于$0$，
它对边边长的平方大于另两边边长的平方和。直角的余弦值是$0$，它对边边长的平方等于另两边边长的平方和。

回到例题\ref{ex:2-2-10}第二题。之前我们算出$\cos C = -\frac{1}{15}$，说明$C$是钝角。
于是$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} \approx 0.9978$，
查表知锐角$180^\circ - C \approx 86.2^\circ$，即$\angle C \approx 93.8^\circ$。
同理，可以算得$\angle A \approx 29.9^\circ$，$\angle B \approx 56.3^\circ$。

我们用和角余弦公式定义了钝角的余弦。用同样的思路，我们考虑差角正弦公式：
$$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin\beta $$
上式对$0 \leqslant \beta \leqslant \alpha \leqslant 90^\circ$成立。现在我们把它扩展到$\alpha < \beta$的情况。
也就是说，对小于零角的角度$\alpha - \beta$，我们定义$\sin (\alpha - \beta)$是关于$x$的方程：
$$ x = \sin\alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin\beta $$
的唯一解。令$\alpha = 0$，就得到：
$$ \forall 0 \leqslant \beta \leqslant 90^\circ , \,\,\, \sin(- \beta) = -\sin\beta. $$
我们再把这个关系扩展到钝角。这样，我们就定义了负平角到正平角之间所有角度的正弦值。

最后，考虑差角余弦公式：
$$ \cos(\alpha - \beta) = \sin\alpha \sin \beta +  \cos \alpha \cos \beta. $$
比照差角正弦公式，对小于零角的角度$\alpha - \beta$，我们同样可以定义$\sin (\alpha - \beta)$是关于$x$的方程：
$$ x = \sin\alpha \sin \beta +  \cos \alpha \cos \beta $$
的唯一解。令$\alpha = 0$，就得到：
$$ \forall 0 \leqslant \beta \leqslant 90^\circ , \,\,\, \cos(- \beta) = \cos \beta. $$
同样把这个关系扩展到钝角，我们就定义了负平角到正平角之间所有角度的余弦值。

注意到负平角到正平角经历了整个周角，因此，定义了负平角到正平角的正弦和余弦值，
实际上就定义了所有角度的正弦和余弦值。至此，我们可以从锐角出发，
得到所有角度的正弦、余弦，而且它们的关系与和差角公式相容。

\begin{ex}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 求$500^\circ$的正弦、余弦值。\\
    \indent 2. 求$-465^\circ$的正弦、余弦值。
\end{ex}
\begin{so}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 首先加减周角，让角度落在负平角和正平角之间：
    $$\sin 500^\circ = \sin 140^\circ, \quad \cos 500^\circ = \cos 140^\circ.$$
    $140^\circ$是正钝角，因此取补角得到锐角：
    $$\sin 140^\circ = \sin 40^\circ, \quad \cos 140^\circ = -\cos 40^\circ.$$
    查表得到$\sin 500^\circ = \sin 40^\circ \approx 0.6428$，$\cos 500^\circ = -\cos 40^\circ \approx -0.766$。\\
    \indent 2. 首先加减周角，让角度落在负平角和正平角之间：
    $$\sin -465^\circ = \sin -105^\circ, \quad \cos -465^\circ = \cos -165^\circ.$$
    $140^\circ$是负钝角，取相反数变为正角，再取补角得到锐角：
    \begin{align*}
        \sin -105^\circ = -\sin 105^\circ = -\sin 75^\circ,  \\
        \cos -105^\circ = \cos 105^\circ = -\cos 75^\circ.  
    \end{align*}
    查表得到$\sin -465^\circ = -\sin 75^\circ \approx -0.9659$，$\cos -465^\circ = -\cos 75^\circ \approx -0.2588$。
\end{so}

综上所述，可以这样总结任意角的正余弦与锐角正余弦的关系：
\begin{center}
    \fbox{
        \shortstack[l]{
            求任意角的正弦：\\
            1. 不断加减周角，直到角度落在$(-180^\circ, 180^\circ]$中。\\
            2. 如果是负角，取相反数变正角，结果取相反数。\\
            3. 如果是钝角，取补角变锐角，结果不变。\\
            求任意角的余弦：\\
            1. 不断加减周角，直到角度落在$(-180^\circ, 180^\circ]$中。\\
            2. 如果是负角，取相反数变正角，结果不变。\\
            3. 如果是钝角，取补角变锐角，结果取相反数。
        }
    }
\end{center}

\begin{xt}\label{xt:2-4-10}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 验证：和角、差角公式对负平角到正平角中的角度成立。 \\
    \indent 2. 证明正弦和余弦的\textbf{倍角公式}：
    \begin{align*}
        \forall \,\, 0 \leqslant \alpha \leqslant 90^\circ , \,\,\, & \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha  \\
        & \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1  
    \end{align*}
    \indent 3. 证明正弦和余弦的\textbf{半角公式}：
    \begin{align*}
        \forall \,\, 0 \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ , \,\,\, & \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}   \\
        & \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} 
    \end{align*}
    \indent 4. 证明正弦和余弦的\textbf{积化和差公式}：
    \begin{align*}
        \cos \alpha \cos \beta &= \frac12 (\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta))  \\
        \sin \alpha \sin \beta &= \frac12 (\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta))  \\
        \sin \alpha \cos \beta &= \frac12 (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta))  
    \end{align*}
    \indent 5. 证明正弦和余弦的\textbf{和差化积公式}：
    \begin{align*}
        \sin \alpha \pm \sin \beta &= 2\sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}  \\
        \cos \alpha + \cos \beta &= 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}  \\
        \cos \alpha - \cos \beta &= -2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}  
    \end{align*}
    \indent 5. 设平行四边形$ABCD$的相邻两边长为$a,b$，两对角线长为$u,v$，证明：$u^2 + v^2 = 2a^2 + 2b^2$。 \\
    \indent 6. 设$\triangle ABC$三边长分别为$a,b,c$，证明：
    $$\sin A = \frac{\sqrt{(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)}}{2bc}.$$ 
    \indent 7. 设$\triangle ABC$周长的一半为$p$，证明：$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。 \\
    \indent 8. $\triangle ABC$一边的长度是另一边的$2$倍。设$A$是$\triangle ABC$最大的内角，证明：$\cos A \leqslant 0.25$。

\end{xt}

\section{正切函数和余切函数}

历史上，除了正弦函数和余弦函数，数学家们还发明了别的函数来讨论角度。\textbf{正切函数}和\textbf{余切函数}就是两种常用的函数。

如下图，单位圆的切线$l$与锐角$\angle AOP$的终边交于$Q$，定义$\angle AOP$的\textbf{正切}（\textbf{值}）为
$\tan\angle AOP = |AQ|$，\textbf{余切}（\textbf{值}）为$\cot\angle AOP = \frac{1}{|AQ|}$。
也就是说，我们用角截切线的长度来度量角的大小。按照定义，\textbf{同角的正切值和余切值互为倒数}。

\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.25\textwidth} %this figure will be at the right
    \vspace{-15pt}
    \flushright
    \includegraphics[width=0.24\textwidth]{tu/正切函数1.png}
\end{wrapfigure}

和正弦、余弦一样，我们可以定义正切、余切函数。
要注意的是，正切函数对零角和锐角有定义，但对直角没有定义。余切函数对锐角和直角有定义，对零角没有定义。

不难证明：
$$ \forall \,\, 0 < \alpha < 90^\circ, \,\,\, \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \,\,\, \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$
换句话说，可以用锐角的正弦和余弦定义它的正切和余切。不难推出：
$$ \forall \,\, 0 < \alpha < 90^\circ, \,\,\, \tan (90^\circ - \alpha) = \cot \alpha, \,\,\, \cot (90^\circ - \alpha) = \tan \alpha. $$
零角的正切是$0$，直角的余切是$0$。
从零角开始，随着角度增大，正切值不断增大。从直角开始随着角度减小，余切值不断减小。
$\cos 45^\circ = \sin (90^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ $，
因此$\tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1$。

反过来，也可以用锐角的正切和余切定义它的正弦和余弦：
$$ \forall \,\, 0 < \alpha < 90^\circ, \,\,\, \sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 \alpha}}, \,\,\, \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}}$$

对其他角度，我们保持正切、余切和正弦、余弦的关系，定义
$$ \forall \,\,  \alpha, \,\,\, \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \,\,\, \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$
这样，除去分母为零的情况，我们定义了任意角的正切和余切。

从正弦和余弦的和差角公式，可以推出正切和余切的和差角公式：
\begin{align*}
    \forall 0 \leqslant \alpha, \beta < 90^\circ, &  \\
    \tan (\alpha + \beta) &= \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} = \frac{\sin\alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin\beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha \sin \beta}  \\
    &= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}    \\ 
    \tan (\alpha - \beta) &= \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta)} = \frac{\sin\alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin\beta}{\cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta}  \\
    &= \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}  
\end{align*}
\begin{align*}
    \forall 0 < \alpha, \beta \leqslant 90^\circ, &  \\
    \cot (\alpha + \beta) &= \frac{\cos (\alpha + \beta)}{\sin (\alpha + \beta)} = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin\alpha \sin \beta}{\sin\alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin\beta}  \\
    &= \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}   \\
    \cot (\alpha - \beta) &= \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\sin (\alpha - \beta)} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta}{\sin\alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin\beta}  \\
    &= \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \alpha - \cot \beta}   
\end{align*}
以上关系可以简写为：
\begin{align*}
    \tan (\alpha \pm \beta) &= \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}  \\
    \cot (\alpha \pm \beta) &= \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \alpha \pm \cot \beta} 
\end{align*}
除去分母为零的情况，任意角的正切和余切也满足以上的和差角公式。

三角形中，内角之和为平角。因此，两角之和的正切值是第三个角正切值的相反数：
\begin{align*}
    \tan C &= \tan (180^\circ - (A + B)) = - \tan (A + B)  \\
    &= - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}.  
\end{align*}
于是：
\begin{align*}
    \tan C (1 - \tan A \tan B) &= - \tan A - \tan B,  \\
    \tan A + \tan B + \tan C &= \tan A \tan B \tan C. 
\end{align*}
\begin{tm}{\textbf{正切定理}}\label{tm:2-5-10}
    三角形内角的正切值之和等于它们的乘积。
\end{tm}
正切定理和正弦定理、余弦定理不同。它并不涉及三角形的边，是纯粹关于角的定理。
使用正切定理无法解决边角关系的问题，但可以比较方便地给出三角形内角的关系。
利用正切和余切的倒数关系，可以写出关于余切的类似结论：
\begin{tm}{\textbf{余切定理}}\label{tm:2-5-20}
    三角形$ABC$内角的余切值满足：
    $$ \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1.$$
\end{tm}

\begin{xt}\label{xt:2-5-10}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 证明正切和余切的\textbf{倍角公式}：
    \begin{align*}
        \forall \,\, 0 < \alpha < 45^\circ, \,\,\,& \tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} &  \\
        &\cot 2\alpha = \frac{\cot^2 \alpha - 1}{2 \cot \alpha} &  
    \end{align*}
    \indent 2. 证明正切和余切的\textbf{半角公式}：
    \begin{align*}
        \forall \,\, 0 < \alpha < 180^\circ, \,\,\,& \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} \\
        & \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}  
    \end{align*}
    定义锐角$\alpha$的\textbf{正割值}（$\sec \alpha$）和\textbf{余割值}（$\csc \alpha$）：
    \begin{align*}
        \sec \alpha &= \frac{1}{\cos \alpha}, \,\,\, \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}.  
    \end{align*}
    \indent 3. 证明：锐角的正割等于它的余角的余割，锐角的余割等于它的余角的正割。\\
    \indent 4. 证明：$ 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha , \,\,\, 1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha. $\\
    \indent 5. 证明\textbf{万能公式}：
    \begin{align*}
        \forall 0 < \alpha < 180^\circ, & \mbox{ 记} \tan\frac{\alpha}{2} = t, \,\,\, \mbox{则：} \\
        \sin \alpha = \frac{2t}{1 + t^2}, & \,\,\,\,\, \tan \alpha = \frac{2t}{1 - t^2}, \,\,\,\,\,\, \sec \alpha = \frac{1 + t^2}{1 -t^2},  \\
        \cos \alpha = \frac{1 -t^2}{1 + t^2}, & \,\,\,\,\,\, \cot \alpha = \frac{1 - t^2}{2t}, \,\,\,\,\,\, \csc \alpha = \frac{1 + t^2}{2t}.   
    \end{align*}
\end{xt}

\section{多边形的边角关系}

多边形的边和角没有直接对应关系。因此，多边形的边角关系，要通过对角线来间接建立。
比如，圆内接凸四边形$ABCD$中，对角之和为平角。根据余弦定理，
\begin{align*}
    |AC|^2 &= |AB|^2 + |BC|^2 -2|AB||BC|\cos\angle ABC  \\
    &= |AD|^2 + |DC|^2 -2|AD||DC|\cos\angle CDA 
\end{align*}
于是，我们得到圆内接凸四边形的内角和四边边长的关系：
\begin{align*}
    \cos\angle ABC = -\cos \angle CDA &= \frac{|AB|^2 + |BC|^2 - |CD|^2 - |DA|^2 }{2(|AB||BC| + |CD||DA|)},  \\
    \cos\angle BCD = -\cos \angle DAB &= \frac{|BC|^2 + |CD|^2 - |DA|^2 - |AB|^2 }{2(|BC||CD| + |DA||AB|)}.  
\end{align*}

另一个例子是正多边形。设单位圆$O$的内接正$n$边形边长为$b_n$，
连接圆心$O$和相邻两顶点$A$、$B$，$\triangle OAB$是等腰三角形。
正$n$边形内角为$\alpha_n = \frac{(n-2)180^\circ}{n}$，
因此$\angle OAB = -\angle OBA = \frac{\alpha_n}{2} = \frac{(n-2)90^\circ}{n}$，
$\angle AOB = \frac{360^\circ}{n}$。根据正弦定理，
$$ \frac{b_n}{\sin \angle AOB} = \frac{1}{\sin \angle OAB}.$$
因此
$$b_n = \frac{\sin \frac{360^\circ}{n}}{\sin \frac{(n-2)90^\circ}{n}} = \frac{\sin \frac{360^\circ}{n}}{\cos \frac{180^\circ}{n}} = \frac{2\sin \frac{180^\circ}{n}\cos \frac{180^\circ}{n}}{\cos \frac{180^\circ}{n}} = 2\sin \frac{180^\circ}{n}.$$

\begin{figure}[h] %this figure will be at the right
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{tu/圆内接多边形1.png}
\end{figure}

为了方便，记$\beta_n = \frac{360^\circ}{n}$，则$b_n = 2\sin \frac{\beta_n}{2}$。
于是，单位圆内接正$n$边形的周长是$nb_n = 2n\sin \frac{\beta_n}{2}$。

过$B$作$OA$的垂线，垂足为$H$，则$\triangle AOB$的面积为$\frac12 |BH|$，即$\frac12 \sin{\beta_n}$。
因此单位圆内接正$n$边形的面积是$\frac{n}{2} \sin{\beta_n}$。

\begin{xt}\label{xt:2-6-10}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 求单位圆内接正$12$边形的周长。\\
    \indent 2. 设圆内接四边形$ABCD$面积为$S$，周长为$2p$，\\
    \indent 2.1. 证明$S = \frac12 \sin \angle ABC (|AB||BC| + |CD||DA|)$。 \\
    \indent 2.2. 证明$S^2 = (p - |AB|)(p - |BC|)(p - |CD|)(p - |DA|)$。\\
    \indent 2.3. 对一般的四边形$ABCD$，如何用$|AB|, |BC|, |CD|, |DA|$和$\frac{\angle ABC + \angle CDA}{2}$表示它的面积$S$？
\end{xt}

\chapter{从或许到确定}
预测未来，是人类社会的重要活动。合理有效地预测未来，是社会文明进步的标志。
中华文明作为农耕文明，很早就懂得预测未来的重要性。
历法、史书、节气，都是我们的祖先为了后人更好地预测未来，留下的经验总结。

生产活动中，预测尤其重要。比如，农牧业、渔业、运输业等行业需要预测天气，
销售行业需要预测产品的市场需求。科学研究和工程制造中，如果能够提前知道产品在各种各样的情境和场景下的性能，
可以节约大量人力物力。社会要发展，就需要更高的预测水平。

\section{事件和见知}

如何判断某件事情将来会不会发生？我们要依赖已有的知识和经验。日常生活中，
我们会说“明天大概要下雨”、“今年冬天肯定很冷”、“我明天大概去不了了”。根据已有条件，
有些事情必然发生，有些事情或许会发生，有些事情不可能发生。事情发生与否，取决于某些条件。
我们把这样的事情叫作\textbf{随机事件}，简称\textbf{事件}。
在已知条件下，如果某事件必然发生，就说它是\textbf{必然事件}；
如果某事件必然不发生，就说它是\textbf{不可能事件}；
如果某事件或许会发生，就说它是\textbf{或然事件}。数学中，研究这些事情的理论叫作概率论。

概率论假定，我们关心的随机事件有某些恒定的内在规律，受某些固有未知因素的影响。
概率论通过研究这些内在规律和因素，预测事件是否会发生。

如何描述一个事件？从客观的角度，我们可以把“发生一件事”看成事物状态、形势局面的改变。
一件事是否发生，可以用改变后的状态或局面表示。我们也许无法确定未来事物发展成哪个状态、形势走向哪个局面，
但我们可以事先确定事物未来所有可能的状态、所有可能出现的局面。

比如，我们无法确定明天杭州是否下雨，但我们知道，在明天杭州是否下雨这个问题上，只可能出现两个结果：下雨或不下雨。
又比如，我们投一个骰子前，无法确定朝上一面的点数，但我们知道，投出的骰子最终只有六个状态：
朝上一面是$1,2,3,4,5$或$6$点。这些最终状态、局面是\textbf{互斥}的。比如明天杭州不可能既下雨又不下雨，
骰子停下之后不可能既是$1$点朝上又是$2$点朝上。

我们把所有可能的最终状态或局面看成一个集合，集合中的每个元素称为事情的\textbf{终态}或\textbf{结果}。
比如，考虑明天杭州是否下雨这个问题时，所有结果构成$\{\mbox{下雨}, \mbox{不下雨}\}$这个集合，
每次投骰子时，骰子的终态构成$\{1,2,3,4,5,6\}$这个集合。我们把这个集合叫作\textbf{终集}，即终态的全集。
我们可以把相关的事件用终集的子集表示。比如，“明天杭州下雨”对应$\{\mbox{下雨}\}$这个子集，
“骰子点数是偶数”对应$\{2,4,6\}$这个子集。事物发展的终态如果在子集里，就说明事件发生了，否则事件没有发生。

单元集也对应着事件。我们把这些事件叫做\textbf{基本事件}。
\textbf{不是任何其他事件的交集的事件，叫做基本事件}。比如$\{1\}$对应的“骰子点数是$1$”就是基本事件。
基本事件是各种事件的“基本单元”，它们通过合并形成别的事件。基本事件之间是互斥事件，它们是终集的分划。

终集可以是有限的，也可以是无限的。目前我们只讨论有限的情况。
要注意的是，随着问题的条件、环境、思考问题的角度发生变化，终集也会变化。
比如，我们考虑明天杭州下雨的问题时，可能要把准备经过杭州的台风“凤凰”也考虑在内。
台风“凤凰”也许继续靠近，也许转向。这时，我们的终集是：
$$\{\mbox{台风靠近且下雨}, \mbox{台风靠近且不下雨}, \mbox{台风转向且下雨}, \mbox{台风转向且不下雨}\}$$

而“明天杭州下雨”对应子集$\{\mbox{台风靠近且下雨}, \mbox{台风转向且下雨}\}$。

对于随机事件，如果我们知道得更多，就能作出更准确的预测。
比如，如果我们不知道台风的情况，那么即便我们把终集依照“台风是否继续靠近”划分，
我们能把握的也只是$\{\mbox{台风靠近且下雨}, \mbox{台风转向且下雨}\}$、
$\{\mbox{台风靠近且不下雨}, \mbox{台风转向且不下雨}\}$两个事件，
与$\{\mbox{下雨}\}, \{\mbox{不下雨}\}$并没有不同。
如果我们掌握了台风的动向，我们就希望把$\{\mbox{下雨}\}$分成\\   
$\{\mbox{台风靠近且下雨}\}$和$\{\mbox{台风转向且下雨}\}$来讨论了。
可以说，随着我们对事物、形势的认知增加，我们的终集会越来越“细”。

为了描述认知增加的过程，我们从最“细”的终集出发，定义每个阶段的\textbf{知集}，代替不同阶段的终集。
知集是最“细”终集的子集构成的集合，满足：

\begin{enumerate}
    \item 空集属于知集；
    \item 如果集合$A$属于知集，那么$A$的补集也属于知集；
    \item 如果集合$A$和$B$属于知集，那么它们的并集也属于知集。
\end{enumerate}

知集表示我们每个阶段的认知。我们根据当前的认知来讨论各种事件。
比如，在杭州下雨的例子里，可以有两个知集，分别是：
$$ S_1 = \big\{\varnothing, \{\mbox{AR}, \mbox{DR}\},\{\mbox{AN}, \mbox{DN}\}, \{\mbox{AR}, \mbox{AN}, \mbox{DR}, \mbox{DN}\} \big\}$$

和
\begin{align*}
    S_2 &= \big\{ \varnothing, \{\mbox{AR}\}, \{\mbox{AN}\}, \{\mbox{DR}\}, \{\mbox{DN}\}, \{\mbox{AR}, \mbox{AN}\}, \{\mbox{AR}, \mbox{DR}\}, \{\mbox{AR}, \mbox{DN}\},  \\
    & \{\mbox{AN}, \mbox{DR}\}, \{\mbox{DN}, \mbox{AN}\}, \{\mbox{DR}, \mbox{DN}\},  \{\mbox{AR}, \mbox{AN}, \mbox{DR}\}, \{\mbox{AR}, \mbox{AN}, \mbox{DN}\},  \\
    &  \{\mbox{AR}, \mbox{DR}, \mbox{DN}\},  \{\mbox{AN}, \mbox{DR}, \mbox{DN}\}, \{\mbox{AR}, \mbox{AN}, \mbox{DR}, \mbox{DN}\} \big\}  
\end{align*}
其中$\mbox{AR}, \mbox{AN}, \mbox{DR}, \mbox{DN}$分别表示
“台风靠近且下雨”、“台风靠近且不下雨”、“台风转向且下雨”和”台风转向且不下雨“。
可以看出，$S_1$是$S_2$的子集。$S_1$到$S_2$的过程，就是对台风认知加深的过程。

这种描述下，不同的知集就对应不同“粗细”的终集。每个知集都对应自己的基本事件。
这时候的基本事件不一定是单元集。比如，$\{\mbox{AR}, \mbox{DR}\}$在$S_1$中是基本事件，在$S_2$中就不是基本事件了。

\begin{xt}
    写出以下问题的终集和知集。\\
    \indent 1. 我国朱鹮从东北省份向南迁徙的路线有三条：西线、中线和东北线。
    小明想知道黑龙江省的某只朱鹮沿哪条路线南迁。\\
    \indent 2. 某航空公司规定：作为补偿，飞机晚点一小时以上，返还全票票价的$40\%$；
    如果晚点三小时以上，返还全票票价的$75\%$。乘客实际购票价低于前述返还价格的，
    返还乘客实际购票价。航班因晚点取消，且乘客自愿接受转乘下一班机的，公司协助补票，
    实施“就低返利”政策：按照下一班机实时票价和乘客最初购票价的较低者计算新票价，多则退还差价；
    并另外补偿新票价的$30\%$。某乘客购票后，在候机时被告知飞机可能晚点，他试着分析可能得到的晚点补偿。
\end{xt}

\section{概率和分布}

预测随机事件时，我们除了关心会发生什么事情，还关心事情有多大可能发生。
当我们说“这事百分之百能成”，“他八成还在路上”，“他的话只有三分准头”，
我们认为某些事情比另一些事情更可能发生。习惯上，我们用数来描述事情有多大可能发生。
在数学中，我们把这个做法称为\textbf{事件的概率}。

我们用不大于$1$的非负实数表示事件的概率。约定不可能事件的概率是$0$，必然事件的概率是$1$，
事件的概率越大，越有可能发生。
此外，事件的概率应当和事件之间的关系相符。两个互斥事件同时发生的概率应该是$0$，
至少有一个发生的概率应该是它俩概率的和。

用集合的语言来说，空集的概率应该是$0$，终集的概率应该是$1$；两个集合不相交，那么它们的并集的概率等于它们概率的和。

我们习惯用映射$\mathbb{P}$来记录概率，把事件$A$的概率记为$\mathbb{P}(A)$。
比如，“明天八成会下雨”，可以写成$\mathbb{P}(\{\mbox{明天下雨}\}) = 0.8$。
不至于混淆时，也可以省略表示集合的大括号，写成：$\mathbb{P}(\mbox{明天下雨}) = 0.8$。

基本事件两两互斥，并集是终集（全集）。所以，基本事件的概率之和等于$1$。

一般来说，由于每个事件都是知集的子集，两个事件互斥时，它们的概率之和等于它们的并集的概率。比如，两个事件对立的时候，它们的概率之和就是全集的概率，也就是$1$：
$$
\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(A^c) = 1
$$
举例来说，投骰子的时候，我们一般认为投出$1,2,3,4,5,6$点的可能性都一样大，
即每个基本事件的概率都相等。于是它们各自的概率是六分之一。
据此，可以算出任何事件的概率。比如，“投出$5$点或以上”的概率是“投出$5$点”的概率加上“投出$6$点”的概率，
也就是三分之一。如果我们知道骰子有问题，比如投出$6$点的可能性是其他任一点数的$2$倍，
那么“投出$6$点”的概率是七分之二；投出其他点数，比如“投出$3$点”的概率是七分之一；
而“投出$5$点或以上”的概率是七分之三。

终集是有限集合的时候，只要知道了知集中每个基本事件分配到的概率（称为\textbf{概率分布}），
就可以推出知集里其他事件的概率。

如果某些事件$B_1, B_2, \cdots, B_k$两两互斥，那么它们和另一事件的交集也两两互斥。因此，设$B_1, B_2, \cdots, B_k$的并集为$B$，则这些交集的概率之和等于它们的并集，也就是$A\cap B$的概率：
$$
\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A\cap B_1) + \mathbb{P}(A\cap B_2) + \cdots + \mathbb{P}(A\cap B_k)
$$
如果并集$B$是全集，那么$A\cap B = A$，上式变成：
$$
\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A\cap B_1) + \mathbb{P}(A\cap B_2) + \cdots + \mathbb{P}(A\cap B_k)
$$
也就是说，如果某个问题中，我们不重复也不遗漏地列举了若干种情况，那么任何事件的概率，都等于该事件分别在这些情况下发生的概率之和。比如说，我们知道明天杭州要么下雨，要么不下雨。因此，事件“明天杭州气温低于$10$摄氏度”的概率等于“明天杭州下雨且气温低于$10$摄氏度”的概率与“明天杭州不下雨且气温低于$10$摄氏度”的概率之和。

两个事件$A, B$有交集时，可以考虑它们各自减去交集剩下的部分，分别记为$A\setminus B$和$B\setminus A$ 。$A \setminus B$就是属于$A$但不属于$B$的终态的集合，$B \setminus A$就是属于$B$但不属于$A$的终态的集合。集合$A \setminus B$、$B \setminus A$、$A\cap B$两两不相交，它们的并集是$A\cup B$。因此，
$$
\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A \setminus B) + \mathbb{P}(B \setminus A) + \mathbb{P}(A \cap B)
$$
另一方面，由于$A \setminus B$和$A\cap B$不相交，并集为$A$，所以$ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \setminus B) +  \mathbb{P}(A \cap B)$；同理 $\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B \setminus A) + \mathbb{P}(A \cap B)$。带入上面的式子，就得到：
$$
\mathbb{P}(A\cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)
$$
这个关系和容斥原理的形式是一样的。


\begin{sk}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 同一个终集下的不同知集中，同一个事件的概率是否相同？\\
    \indent 2. 事件的概率和集合的元素个数有什么关系？为什么有这样的关系？
\end{sk}

\section{二项分布和均匀分布}

我们来看两种简单的概率分布。

考虑只有两个终态$a, b$的终集，两个基本事件$\{a\}, \{b\}$概率之和是$1$。
设其中一个的概率是$p$，则另一个的概率是$1-p$。我们把这样的概率分布叫作\textbf{二项分布}。
举例来说，如果我们认为明天杭州下雨的概率是$0.7$，不下雨的概率就是$1-0.7=0.3$。
我们说，我们认为明天杭州下雨的问题服从二项分布。

又比如：抛一枚硬币，我们认为正面朝上的概率是$0.52$，那么反面朝上的概率就是$1 - 0.52 = 0.48$。
我们说，我们认为抛这枚硬币的问题服从二项分布。
为了好说话，我们会在两个基本事件中选一个我们更关心的，称为\textbf{正面事件}，把另一个称作\textbf{反面事件}。
如果正面事件的概率是$p$，就说问题服从系数为$p$的二项分布。

终集为$\{a, b\}$的二项分布，包括四个事件，分别对应$\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}$四个子集。
设$\{a\}$是正面事件，概率为$p$，那么这四个事件的概率分别是$0$、$p$、$1-p$和$1$。

对于元素更多的终集，情况更加复杂。我们考虑一种简单情形：每个基本事件的概率相等。
这样的概率分布称为\textbf{等概率分布}或\textbf{均匀分布}。
比如，投骰子时，如果我们认为每面朝上的概率都相等，就说投骰子服从均匀分布。

假设终集有$n$个终态，那么每个基本事件的概率就是$\frac{1}{n}$。
对于任意事件，我们可以数一下事件包含了几个终态，用终态个数除以所有终态的个数，
就是它的概率。我们把这个性质写作：
$$ \mathbb{P}(A) = \frac{|A|}{|S|} $$
其中$|A|$表示事件$A$作为集合的元素个数，$|S|$表示终集$S$的元素个数。 
比如，服从均匀分布的投骰子问题中，要求“大于$2$点”的概率，我们数一下事件$\{3,4,5,6\}$，
它包含了$4$个终态，所以“大于$2$点”的概率是$4 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$。

\begin{xt}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 把$1$到$100$分别写在小纸条上放入黑箱里，随意抽取一张，
    抽到的数是素数的概率是多少？完全平方数的概率是多少？各位数字乘积大于$10$的概率是多少？ \\
    \indent 2. 有没有以全体自然数为终集的均匀分布？为什么？说说你的理由。
\end{xt}

% \section{条件概率和独立事件}
% 讨论随机事件，总要知道前提条件。只有明确了前提条件，才能讨论事件的概率。
% 为了研究不同的前提条件对事件的影响，我们引入条件概率的概念。

% 仍以“明天杭州是否下雨”为例。我们讨论台风“凤凰”动向对下雨概率的影响，可以说：
% “如果台风靠近，那么下雨的概率有$90\%$”、“如果台风转向，那么不下雨的概率为$40\%$”。
% 这里我们把台风靠近与否作为明天杭州下雨的前提条件。以上两句话可以记作：
% $$ \mathbb{P} (\{\mbox{下雨}\} \, | \, \{\mbox{台风靠近}\}) = 0.9, \quad \mathbb{P} (\{\mbox{不下雨}\} \, | \, \{\mbox{台风转向}\}) = 0.4$$
% 从知集$S_2$的角度，$\mathbb{P} (\{\mbox{下雨}\} \, | \, \{\mbox{台风靠近}\}$应该记为：
% $$  \mathbb{P} (\{\mbox{台风靠近且下雨}, \mbox{台风转向且下雨}\} \, | \, \{\mbox{台风靠近}\}$$
% 但我们知道，在“台风靠近”的前提条件下，

\section{排列和组合}
均匀分布的问题里，事件的概率只和它包含的终态的个数以及所有终态的个数有关。因此，在相关的一些问题里，
我们关心如何计出事件包含的终态的个数。

\begin{ex}
    将编号为$1,2,3$的$3$个小球排成一列，最左边的球是$1$的概率是多少？
\end{ex}
要知道事件“最左边的球是$1$”的概率，用“最左边的球是$1$”包含的终态个数除以所有终态的个数。
怎么计算“最左边的球是$1$”包含的终态个数和所有终态的个数呢？

首先考虑所有终态的个数：将编号为$1,2,3$的$3$个小球排成一列，有多少种方法？

不妨设三个球从左到右排列。无论排列方式如何，三个球分别占据“左”、“中”、“右”三个位置。
从左边开始，把球一个个放到位置上。左边的位置可以放三个球中任何一个，因此有$3$种方法。
按任一种方法放好左边的球以后，中间的位置可以放剩余两个球中任何一个，因此有$2$种方法。
按任一种方法放好中间的球以后，右边的位置可以放最后一个球，只有$1$种方法。
于是一共有$3\times 2\times 1 = 6$种方法。

如果最左边的球是$1$，有多少种方法？这时左边的位置已经放好了$1$号球，因此中间的位置还有两种放法。
任一种方法放好中间的球以后，右边的位置放最后一个球，只有$1$中方法。因此，一共有$2\times 1 = 2$种方法。

综上所述，“最左边的球是$1$”的概率是：
$$ \mathbb{P}(\mbox{最左边的球是}1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. $$

我们把$n$个互不相同的物品排成一列的方法数目称为$n$\textbf{排列数}，记作$P_n$。
比如，编号为$1,2,3$的$3$个小球排成一列的方法数目就叫做“$3$排列数”，记作$P_3$。

对于一般的自然数$n$，$n$排列数是$n-1$排列数的$n$倍。
这是因为，如果把$n$个互不相同的物品排成一列，第一个位置总可以放$n$个物品中的任何一个，
有$n$种方法。按任一种方法放好第一个位置后，剩下的$n-1$个位置摆放剩下的$n-1$个物品的方法数目，
恰好就是$n-1$排列数。

因此，用归纳法可以证明，$n$排列数就是$n$乘以$n-1$乘以$n-2$……直到乘以$1$的乘积。比如，
$5$排列数就是$5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 120$。

如果我们把从$n$乘到$1$的计算看成关于$n$的函数的话，这个函数叫做（$n$的）\textbf{阶乘}，记作$n!$。
$n$排列数就是$n$的阶乘。

如果要求从$n$个互不相同的物品中选$m$个排成一列，那么按同样的思路，摆放的方法数为：
$n \times (n - 1) \times \cdots \times (n - m + 1).$
我们把它称为$n$选$m$排列数，记作$P_n^m$。显然，$P_n^n$就是$P_n$。我们可以用阶乘来表示$P_n^m$：
$$P_n^m = \frac{n!}{(n - m)!}$$

\begin{ex}
    将$3$个红球和$2$个白球组成一列，最左边的球是红球的概率是多少？
\end{ex}
我们仍然先计算$3$个红球和$2$个白球组成一列的方法数。
这里球只有红白两种颜色的分别。同色的球没有差别。如果我们把球编号，$1,2,3$号球是红球，$4,5$号球是白球，
那么，按照编号排列，有$5! = 120$种方法。不过，$1-2-3-4-5$和$2-3-1-4-5$其实是同一种方法。
因为$1,2,3$号球都是红球，并没有差别。把$1-2-3-4-5$里的$3$个红球任意改变次序，都不影响结果。同理，
把$1-2-3-4-5$里的$2$个白球任意改变次序，都不影响结果。$3$个红球的排列方法有$3! = 6$种，$2$个
白球的排列方法有$2! = 2$种，于是这$6\times 2 = 12$种方法都对应同一种结果。也就是说，带编号的$12$个排列方法
对应一种不带编号的排列方法。因此，实际上只有$\frac{5!}{3!2!} = 10$种排列方法。

我们把不带编号的排列方法称为\textbf{组合数}。
比如，$3$个红球和$2$个白球组成一列的方法数目叫做“$3,2$组合数”，或“$5$选$3$”
（因为也可以看作从$5$个位置里选$3$个放红球），记作$C_5^3$或$5 \choose 3$。

如果最左边的球是红球，那么剩下的$4$个位置要放$2$个红球、$2$个白球。于是，一共有$C_4^2$种方法。计算可知：
$$ C_4^2 = \frac{4!}{2!\times 2!} = \frac{24}{2\times 2} = 6.$$
即一共有$6$种方法。因此最左边的球是红球的概率是：
$$ \mathbb{P}(\mbox{最左边的球是红球}) = \frac{C_4^2}{C_5^3} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.$$

一般来说，“$n$选$m$”也可以用阶乘计算：
$$ C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$

不难发现，$C_n^m$和$P_n^m$有以下关系：
$$ P_n^m = m! \cdot C_n^m. $$

容易发现：“$n$选$m$”等于“$n$选$n-m$”。比如，$5$选$3$等于$5$选$2$。
用红球和白球的例子，可以理解为：$3$个红球和$2$个白球组成一列的方法数目，
等于$3$个白球和$2$个红球组成一列的方法数目。

掌握了排列数和组合数，我们就可以计算一些复杂问题里终态的个数。

\begin{xt}
    \mbox{} \\
    \indent 1. $5$个红球和$3$个白球排成一列，有多少种方法？\\
    \indent 2. $2$个红球、$3$个白球和$2$个黄球排成一列，有多少种方法？\\
    \indent 3. 设有两个正整数$m < n$，证明：$m!$整除$n!$。
\end{xt}

\chapter{三段论}

我们已经学习过换质法和换位法。它们都属于直接推理，即通过一个前提得出一个结论。
通过多个前提得出结论，称为\textbf{间接推理}。\textbf{三段论}是一种常见的间接推理。

\section{三段论的结构}
三段论是由三个判断构成的推理，一共涉及三个概念，
每个判断中的主语和断语分别涉及一个概念，
每个概念在两个判断中各出现一次。例如：
\begin{quotation}
    \noindent \ding{172}所有的科学规律都是不以人们的意志为转移的。\\
    \ding{173}物理学规律是科学规律。\\
    \ding{174}所以，物理学规律是不以人们的意志为转移的。
\end{quotation}
就是一个三段论。它包含两个前提（\ding{172}和\ding{173}）和一个结论（\ding{174}）共三个判断，
涉及三个概念：“科学规律”、“物理学规律”和“不以人们的意志为转移的”。
每个概念在两个判断中分别出现一次。比如“科学规律”就在\ding{172}和\ding{173}中各出现一次。

组成三段论的每个判断可以是简单判断，也可以是复合判断。
这里我们只研究由三个简单判断组成的三段论。

我们把三段论涉及的三个概念称为\textbf{大项}、\textbf{中项}和\textbf{小项}。大项是结论的断语中出现的概念，
中项是在两个前提中分别出现的概念，小项是结论的主语中出现的概念。以上的例子中，
“不以人们的意志为转移的”是大项，“科学规律”是中项，“物理学规律”是小项。
小项和大项除了在结论中出现，还各在前提中出现一次。出现大项的前提称为\textbf{大前提}，
出现小项的前提叫做\textbf{小前提}。以上的例子中，\ding{172}是大前提，\ding{173}是小前提。

中项在两个前提中各出现一次，每次可以是主语或断语。因此，它出现的位置一共有$4$种情况：
\begin{align*}
    \mbox{中} \rightarrow \mbox{大}, \quad \mbox{中} \rightarrow \mbox{小} \quad \Rightarrow \quad \mbox{小} \rightarrow \mbox{大}  \\
    \mbox{大} \rightarrow \mbox{中}, \quad \mbox{小} \rightarrow \mbox{中} \quad \Rightarrow \quad \mbox{小} \rightarrow \mbox{大}  \\
    \mbox{小} \rightarrow \mbox{中}, \quad \mbox{中} \rightarrow \mbox{大} \quad \Rightarrow \quad \mbox{小} \rightarrow \mbox{大}  \\
    \mbox{大} \rightarrow \mbox{中}, \quad \mbox{中} \rightarrow \mbox{小} \quad \Rightarrow \quad \mbox{小} \rightarrow \mbox{大} 
\end{align*}
其中$\mbox{大} \rightarrow \mbox{中}$表示主语是大项，断语是中项，其余类似。可以看出，中项是连接小项和大项的“桥梁”。

\begin{xt}\label{xt:4-0-10}
    判断以下推理是否是三段论：\\
    \indent 1. 雷锋是人民的儿子；我是人民；所以，雷锋是我的儿子。\\
    \indent 2. 有些金丝猴生活在山上；所有生活在山上的动物都是陆生动物；所以，金丝猴是陆生动物。\\
    \indent 3. 所有的公麋鹿都有角；所有的母麋鹿都没有角；所以，有角的麋鹿都不是母麋鹿。\\
    \indent 4. 海豚可以发出超声波；超声波可以判断胎儿性别；所以，海豚可以判断胎儿性别。\\
    \indent 5. $1990$年前出生的马耳他人是欧盟公民；$1990$年前出生的欧盟公民可以领取埃提尔奖学金；所以，$1990$年前出生的马耳他人可以领取埃提尔奖学金。\\
    \indent 6. 雪豹生活在海拔较高的地区；雪豹是肉食动物；所以，雪豹是生活在海拔较高地区的肉食动物。
\end{xt}
\section{三段论的规则}
三段论只是一种推理形式。不是每个三段论都是正确的推理。比如，以下的推理就是错误的。
\begin{quotation}
    \noindent 所有鱼都生活在水里。\\    
    所有的鲸鱼都生活在水里。\\    
    所以，所有的鲸鱼都是鱼。
\end{quotation}

正确的三段论推理，必须满足几个规则。
\begin{enumerate}
    \item[1.] 前提中讨论的概念如果不周延，它在结论中也不周延。\\
    这个规则和换位法是一样的。
    \begin{ex*}
        以下的三段论是错误的： \\
        \indent 所有莲花牌棉被都采用了提花工艺。\\
        \indent 所有莲花牌棉被都使用新疆长绒棉。\\
        \indent 所以，所有采用了提花工艺的棉被都使用新疆长绒棉。\\
        \textbf{错误原因}：小项“采用了提花工艺的棉被”在小前提中不周延，但在结论中周延。改为“有些采用了提花工艺的棉被使用新疆长绒棉”则正确。
    \end{ex*}
    \item[2.] 中项至少周延一次。\\
    中项是连接小项和大项的“桥梁”。中项在两个前提里都不周延，那么两个前提中涉及的可能是中项不同的部分。
    这样中项就无法连接小项和大项了。 
    \begin{ex*}
        以下的三段论是错误的： \\
        \indent 所有个位为$7$的数都是整数。\\
        \indent 有些整数是完全平方数。\\
        \indent 所以，所有个位为$7$的数是完全平方数。\\
        \textbf{错误原因}：中项“整数”两次都不周延。“个位为$7$的数”和“完全平方数”涉及的是不同的整数。
    \end{ex*}    
    \item[3.] 前提不能都是否定判断。\\
    否定判断中，主语对应的集合与断语对应的集合的交集为空集。
    比如，“所有二年级的老师都不住在福明小区”表示“所有二年级的老师”集合和“住在福明小区的老师”集合的交集为空集。
    如果两个前提都是否定判断，那么中项对应的集合和大项、小项对应的集合都不相交，我们无法判断小项和大项的关系。
    \begin{ex*}
        以下的三段论是错误的： \\
        \indent 有些树叶不是白色的。\\
        \indent 所有的兔子都不是树叶。\\
        \indent 所以，所有的兔子都不是白色的。\\
        \textbf{错误原因}：两个前提都是否定判断。所以我们无法确定“兔子”和“白色”的关系。
    \end{ex*} 
    \item[4.] 前提中有否定判断，则结论必须是否定判断。前提都是肯定判断，则结论必须是肯定判断。\\
    同上一条规则的思路。否定判断表示主语、断语对应的集合的交集为空集，而肯定判断表示它们的交集不是空集。
    前提如果有否定判断，那么中项和某一项的交集为空，所以无法用来推出另两项相交；如果前提总是肯定判断，
    那么中项和另两项的交集都不是空集，所以无法用来推出另两项交集为空。
    \begin{ex*}
        以下的三段论是错误的： \\
        \indent 有些树叶是绿色的。\\
        \indent 所有的兔子都不是树叶。\\
        \indent 所以，有些绿色的东西是兔子。\\
        \textbf{错误原因}：前提中有否定判断，而结论为肯定判断。改为“有些绿色的东西不是兔子”则正确。
    \end{ex*}
\end{enumerate}
只要符合以上所有规则，就是正确的三段论。只要不符合任一条规则，就是错误的三段论。

从这些规则，可以导出几个比较简单的判定依据。要注意这几个依据只起“一票否决”的作用，
即便三段论符合这些依据，也不一定正确。
\begin{enumerate}
    \item[1.] 前提中必须有全判断。
    \begin{proof}
        根据规则$3$，两个前提不能都是否定判断。如果两个前提都是肯定判断，那么两者的断语都不周延。
        然而根据规则$2$，中项至少周延一次，所以必然在某个前提的主语周延。
        如果恰有一个前提是否定判断，则根据规则$4$，结论是否定判断，即大项在结论中周延。
        因此，根据规则$1$，大项在前提中周延。考虑中项的位置，根据规则$2$，要么中项在主语周延，于是前提中有全判断；
        要么中项在否定判断里做断语周延。后一种情况下，另一个前提是肯定判断，断语不周延，
        所以大项不在前提的断语中，而在主语中。这说明主语周延。综上所述，总有一个前提主语周延，即是全判断。
    \end{proof}
    \begin{ex*}
        以下的三段论是错误的： \\
        \indent 有些学生是戏剧社成员。\\
        \indent 有些学生是校篮球队成员。\\
        \indent 所以，有些戏剧社成员是校篮球队成员。\\
        \textbf{错误原因}：两个前提都是有判断，无法得出任何结论。
    \end{ex*}
    \item[2.] 如果某前提是有判断，则结论是有判断。
    \begin{proof}
        根据规则$3$，两个前提不能都是否定判断。如果两个前提都是肯定判断，那么两者的断语都不周延。
        然而根据规则$2$，中项至少周延一次，所以必然在某个前提的主语周延，于是另一个前提主语不周延。
        这说明大项和小项在前提中都不周延。根据规则$1$，小项在结论中不周延。
        如果恰有一个前提是否定判断，则根据规则$4$，结论是否定判断，即大项在结论中周延。
        因此，根据规则$1$，大项在前提中周延。根据上一个准则，前提中必须有全判断，因此两个前提一个是有判断，
        一个是全判断。于是前提中恰有两个概念周延：有判断的主语和否定判断的断语。这两个概念必然一个是大项，
        另一个是中项，所以小项总不周延。根据规则$1$，小项在结论中也不周延。综上所述，小项在结论中不周延，
        即结论是有判断。
    \end{proof}
    \begin{ex*}
        以下的三段论是错误的： \\
        \indent 有些树叶是绿色的。\\
        \indent 所有树叶都会腐烂。\\
        \indent 所以，所有绿色的东西都会腐烂。\\
        \textbf{错误原因}：小前提是有判断，所以结论应该是有判断。改为“有些绿色的东西会腐烂”则正确。
    \end{ex*}
    \item[3.] 大前提是有判断，小前提是否定判断，则无法得出结论。
    \begin{proof}
        顺着上一个依据的证明思路，大前提是有判断，主语不周延；小前提是否定判断，说明大前提是肯定判断，断语不周延。
        因此大项在前提中不周延。反设能得出结论，根据规则$4$，结论是否定判断，大项在结论中周延。
        这与规则$1$矛盾！因此假设不成立，无法得出结论。
    \end{proof}
    \begin{ex*}
        以下的三段论是错误的： \\
        \indent 有些四院职工参与了联合险。\\
        \indent 所有事故伤者都不是四院职工。\\
        \indent 所以，所有事故伤者都没有参与联合险。\\
        \textbf{错误原因}：大前提是有判断，小前提是否定判断，我们无法在“事故伤者”和“参与了联合险”之间建立关系。
    \end{ex*}
\end{enumerate}
\begin{xt}\label{xt:4-1-10}
    判断以下的推理是否成立。如果不成立，违反了哪条规则：\\
    \indent 1. 所有的维纳过程都是马尔可夫过程；所有的维纳过程都是鞅；所以，有些马尔可夫过程是鞅。\\
    \indent 2. 有些香港居民不是中国人；所有香港居民都有权决定香港的命运；所以，有些中国人无权决定香港的命运。\\
    \indent 3. 所有的猫科动物都不是两栖动物；所有的花豹都是猫科动物；所以，所有花豹都不是两栖动物。\\
    \indent 4. 有些有理数是无限循环小数；所有整数都是有理数；所以，有些整数是无限循环小数。\\
    \indent 5. 我国的历史古迹分布于全国各地；龙门石窟是我国的历史古迹；所以，龙门石窟分布于全国各地。\\
    \indent 6. 有些化合物不是有机物；所有的化合物都不是单质；所以，有些有机物不是单质。    
\end{xt}

\chapter{多元映射}
我们已经学习过映射。映射表示事物之间的对应关系。映射涉及两个集合：出发集和到达集。
至今为止，我们接触的映射，都是把出发集里的一个元素对应到到达集里的一个元素。
除了这种对应方式，现实生活中还有别的对应方式。

\section{映射与多元映射}
\begin{ex}
    \mbox{}\\
    1. 某公司希望清点各个门店过去一年各个月份的销售额。
    \begin{center}
        \begin{tabular}{| p{4em}<{\centering} | p{2em}<{\centering} | p{6em}<{\centering} |}
            \hline
            门店 & 月份 & 销售额 \\ [0.5ex] 
            \hline
            大连$01$ & $1$ & ￥$121902.54$ \\  
            \hline
            上海$03$ & $4$ & ￥$204361.08$ \\  
            \hline
            武汉$01$ & $2$ & ￥$194720.10$ \\  
            \hline
            $\vdots$ & $\vdots$ & $\quad\vdots$ \\   
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    2. 某次全市联考的名册。
    \begin{center}
        \begin{tabular}{| p{4em}<{\centering} | p{6em}<{\centering} | p{3em}<{\centering} | p{4em}<{\centering} |}
            \hline
            学校 & 班级 & 姓名 & 准考证号 \\ [0.5ex] 
            \hline
            立德中学 & 初三（$1$）班 & 张三 & $A00281$ \\  
            \hline
            师大附中 & 初三（$6$）班 & 李四 & $A00916$ \\  
            \hline
            第六中学 & 初三（$3$）班 & 王五 & $F00045$ \\  
            \hline
            $\vdots$ & $\vdots$& $\vdots$ & $\quad\vdots$ \\   
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
\end{ex}

第一个例子里，我们可以建立这样的对应关系：
\begin{align*}
    f :\mbox{门店} \times \mbox{月份} &\rightarrow \mathbb{R}^+  \\
    f(\mbox{大连}01, \,\, 1) &\,= 121902.54,  \\
    f(\mbox{上海}03, \,\, 4) &\,= 204361.08,  \\
    f(\mbox{武汉}01, \,\, 2) &\,= 194720.10,  \\
    \vdots \quad & \quad\quad \vdots 
\end{align*}
第二个例子里，我们可以建立这样的对应关系：
\begin{align*}
    f :\quad\mbox{学校} \quad \times \quad \mbox{班级} \quad \times \,\,\,\, \mbox{姓名} \,\, &\rightarrow \mbox{准考证号}  \\
    f(\mbox{立德中学}, \,\, \mbox{初三（1）班}, \,\, \mbox{张三}) &\,= A00281,  \\
    f(\mbox{师大附中}, \,\, \mbox{初三（6）班}, \,\, \mbox{李四}) &\,= A00916,  \\
    f(\mbox{第六中学}, \,\, \mbox{初三（3）班}, \,\, \mbox{王五}) &\,= F00045,  \\
    \vdots \quad\quad & \quad\quad\quad \vdots 
\end{align*}
从多个出发集中各取一个元素，与到达集里的一个元素对应。这样的对应关系叫做\textbf{多元映射}。它把多个元素对应到一个元素。
为了区别，我们把一个元素对应到一个元素的对应关系叫做\textbf{一元映射}。
事实上，多元映射也可以看作一种特殊的一元映射，但在这个阶段我们不讨论这个问题，姑且认为它们是有区别的。
以下提到“映射”，如果不特别指出，一般指一元映射。

多元映射也和映射一样，有自变量和应变量。多元映射的自变量是多个集合中的元素按顺序组成的，称为\textbf{有序元组}。
比如，第一个例子中，自变量$(\mbox{大连}01, \,\, 1)$就是由门店集合的元素“大连$01$”和月份集合的元素“$1$”构成的有序二元组。
第二个例子中，自变量$(\mbox{师大附中}, \,\, \mbox{初三（6）班}, \,\, \mbox{李四})$就是由校名集合的元素“师大附中”、
班级集合的元素“初三（$6$）班”和姓名集合的元素“李四”构成的有序三元组。

再来看一个数学中的例子：
\begin{align*}
    f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} &\rightarrow \mathbb{R}  \\
    (x,\,\, y) &\mapsto x^2 + y^2  
\end{align*}
这个映射把实数$x,y$映射为$x^2 + y^2$。比如，我们令$x = 3$，$y =1$，就得到：
$f(x,y) = 3^2 + 1^2 = 10$。

出发集和到达集都是数集的映射，叫做函数。多元映射也如此。出发集和到达集都是数集的多元映射，叫做\textbf{多元函数}。
以上的$f$就是二元函数。

再来看以下关于命题的多元映射：
\begin{align*}
    f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \,\, &\rightarrow \{\mbox{真}, \,\, \mbox{假}\}  \\
    (n, \,\,\,\, m) &\mapsto \mbox{若}\, n > 1 \mbox{，则}\, n^2 < m^3 < 2n^2 + 1.  
\end{align*}
对任何自然数$n,m$，$f$将它们映射到命题$P(n,m)$：“若$n > 1$，则$n^2 < m^3 < 2n^2 + 1$”。对某些$(n,m)$，
命题$P(n,m)$为真命题，对另一些$(n,m)$，命题$P(n,m)$为假命题。这样含有两个变量的命题$P(n,m)$称为\textbf{二元命题}。

\begin{xt}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 将加减乘除表示为多元函数。\\
    \indent 2. 将正弦、余弦函数的和差角公式表示为多元函数。\\
    \indent 3. 考虑将三角形顶点对应到它的重心的多元映射。如何在直角坐标系中把这个映射表示为多元函数？
\end{xt}

\section{通过映射理解多元映射}

多元映射比映射更复杂，涉及到更多的集合，因此，我们希望通过映射来理解多元映射。

给定一个二元映射$f:S_1 \times S_2 \rightarrow S_3$，如果只考虑$S_1$中的一个元素$a$，那么
$$ g_2: t \mapsto f(a, t)$$
就是一个映射。同理，如果只考虑$S_2$中的一个元素$b$，那么
$$g_1 : t \mapsto f(t, b)$$
也是一个映射。这两个映射都是根据$f$定义的。很多时候，为了研究二元映射$f$，我们会先研究$g_1$和$g_2$，
它们比原来的二元映射更简单，只涉及一个自变量，更方便研究。

比如，要研究关于实数$x, y$的二元函数$f: (x, y) \mapsto \frac{xy}{x + y}$，我们可以先让$x$等于某个定值$a$，
研究函数$g_1 : t \mapsto f(a, t) = \frac{at}{a + t}$。可以把$g_1$的表达式改写为
$$ g_1(t) = a - \frac{a^2}{a + t}.$$
$a = 0$的时候，$g_1(t) = 0$总成立。$a > 0$ 的时候，$g_1(0) = 0$，当$t$从$0$开始不断变大，
正数$a + t$越来越大，于是正数$\frac{a^2}{a + t}$越来越小。$g_1(t)$随着$t$不断变大，逐渐从$0$变大，往$a$靠拢。
可以看到，随着我们对不同的$a$对应的函数$g_1$做出分析，我们对二元函数$f$的了解就不断增加。

除了让自变量中的某个元素等于定值，我们还可以施加其它条件，把多元映射转化为映射。比如，对以上的二元函数$f$，
我们可以让$x$和$y$的和等于定值$a$，研究函数
$$ g : t \mapsto f(t, a - t) = \frac{t(a - t)}{a} = -\frac{t^2}{a} + t$$
$g$是一个二次函数，最高次项是$-\frac{1}{a}$。$a>0$时，最高次项系数小于$0$，函数图像关于$x = \frac{a}{2}$对称，
最高点是$(\frac{a}{2}, \frac{a}{4})$；$a<0$时，最高次项系数大于$0$，函数图像关于$x = \frac{a}{2}$对称，
最低点是$(\frac{a}{2}, \frac{a}{4})$。

\begin{xt}
    \mbox{} \\
    \indent 1. 给定关于实数$x, y$的二元函数$f: (x, y) \mapsto \frac{x^2 + y^2}{xy}$。当$x$为定值$a$时，研究对应函数的性质。\\
    \indent 2. 给定关于实数$x, y$的二元函数$f: (x, y) \mapsto \frac{x^2 - y^2}{xy}$。当$x+y$为定值$a$时，研究对应函数的性质。\\
    \indent 3. 给定源于实数$x,y,z$的三元函数$f:(x,y,z) \mapsto xy + yz + zx - x^2$，研究这个函数的性质。
\end{xt}


\section{“有求必允”与“一路全真”}

对二元命题，我们也可以采取同样的方法，分析它的性质。我们可以先让其中一个变量等于某个定值，
这样二元命题就变成了含有一个变量的命题。比如，要研究关于正整数$n,m$的二元命题$P(n,m)$：$m + n$整除$m^2 - n^2$。
我们可以让$n$等于定值$3$，研究关于变量$m$的命题$P_1 (m) = P(3,m)$。如果$P_1(m)$对所有正整数$m$为真，
那么我们可以说：
\begin{quotation}
    存在正整数$n$，使得对所有自然数$m$，$P(n,m)$为真。
\end{quotation}
显然，如果$n$取某个定值的时候，考虑关于变量$m$的命题$P_1 (m) = P(n,m)$。如果对所有正整数$m$，$P_1(m)$都是真命题，那么以上这句话也成立。

我们用表格来表示这个结论（图$6.1$）。

\begin{figure}[h] %this figure will be at the right
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.96\textwidth]{tu/多元映射10.png}
    \caption{$P(n,m)$对$n=3$一路为真}
\end{figure}

可以看到，“存在正整数$n$，使得对所有正整数$m$，$P(n,m)$为真（假）”，说明表格中有一行的值全是真（假）。
同理，“存在正整数$m$，使得对所有正整数$n$，$P(n,m)$为真（假）”，说明表格中有一列的值全是真（假）。
我们把这种性质称为“\textbf{一路全真}（\textbf{假}）”。

很多时候，二元命题并没有这么整齐的性质。比如这个关于正整数$n,m$的命题$P(n,m)$：$n < m^2 \leqslant 3n+1$。
正整数$n$是定值的时候，考虑$P_1 : m \mapsto P(n,m)$，$P_1(m)$只对一部分自然数为真。但我们可以说，
\begin{quotation}
    对任意正整数$n$，总有正整数$m$，使得$P(n,m)$为真。
\end{quotation}
比如，$n=10$的时候，让$m = 5$，则$n < m^2 \leqslant 3n+1$；$n=100$的时候，让$m = 16$，
则$n < m^2 \leqslant 3n+1$。一般来说，对给定的正整数$n$，让$m$等于大于$\sqrt{n}$的最小整数，
就能使$P_1(m)$为真。用表格来表示这个结论（图$6.2$）：
\begin{figure}[H] %this figure will be at the right
    \vspace{4pt}
    \centering
    \includegraphics[width=0.96\textwidth]{tu/多元映射12.png}
    \caption{$P(n,m)$对$n$有求必允}
\end{figure}

可以看到，“对任意正整数$n$，总有正整数$m$，使得$P(n,m)$为真”，
说明表格里每一行都至少有一个值为真，我们称这种性质为对$n$“\textbf{有求必允}”。
反过来，“对任意自然数$n$，总有自然是$m$，使得$P(n,m)$为假”，说明表格里每一行都至少有一个值为假，
我们称这种性质为对$n$“\textbf{有求必拒}”。

二元命题“有求必允”时，我们可以把$n$对应到一个使得$P(n,m)$为真的$m$。这样定义的映射，称为二元命题的\textbf{求允映射}。
同理，二元命题“有求必拒”时，我们可以把$n$对应到一个使得$P(n,m)$为假的$m$。这样定义的映射，称为二元命题的\textbf{求拒映射}。

\begin{ex*}
    考虑关于正整数的二元命题$P(n,m)$：$n > m$。对每个$n$，取$m = n + 1$，就有$m > n$为真。
    因此，我们可以构造求允映射：
$$f: n \mapsto n + 1$$
对任意$n$，总存在$m = f(n)$，使得$P(n,m)$为真。另一方面，对每个$n$，取$m = n$，就有$m > n$为假，
因此，我们又可以构造求拒映射：
$$g: n \mapsto n $$
对任意$n$，总存在$m = g(n)$，使得$P(n,m)$为假。
\end{ex*}

从上面可以看出，二元命题可以既“有求必允”又“有求必拒”。此外，求允映射、求拒映射不一定是唯一的。
比如，以上例子中，我们也可以构造$n \mapsto n + 3$或$n \mapsto n + 100$，它们都能“有求必允”。

二元命题存在求允映射，说明它对于某个变量“有求必允”，否则，就说明它对该变量的某个取值无法“应允”，
只能“拒绝”，也就是说它对这个取值“一路全假”。比如，要么二元命题$P(n,m)$对$n$有求必允，
要么对某个$n$的值“一路全假”。也就是说，“有求必允”的否定是“一路全假”。同理，“有求必拒”的否定是“一路全真”。

\begin{xt}
    \mbox{}\\
    \indent 1. 用集合的语言解释：“有求必允”的否定是“一路全假”。用图表的方式画一个例子来说明它。\\
    \indent 2. 考虑关于正整数$n, m$的二元命题$P(n,m)$：$n^2$整除$m + 1$。这个命题是否关于$n$有求必允？是否关于$m$有求必允？是否关于某个$m$一路全假？是否关于某个$m$一路全真？\\
    \indent 3. 考虑关于有理数$n, m$的二元命题$P(n,m)$：$n^2 = m$。这个命题是否关于$n$有求必允？是否关于$m$有求必允？\\
    \indent 4. 考虑关于实数的$x, y$的二元命题$P(x, y)$：只要实数$r$的绝对值小于$x$，$r^2$就小于$y$。这个命题是否关于$x$有求必允？是否关于$y$有求必允？
\end{xt}



\end{document}